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对一道立体几何动点问题的思考

2022-06-19刘海涛

中学生理科应试 2022年6期
关键词:三棱锥接球动点

刘海涛

一、问题的提出

数学解题的目的是什么?是求出问题的答案吗?是,但不全是!解题的目的是巩固数学基础知识、落实数学基本技能、感悟数学思想方法、提升数学思维活动经验,因此,在平时的学习中不能为了解题而解题,而应该在解完一些典型问题后,及时予以反思,问题蕴含的数学背景是什么?问题包含的命题的逆命题是否成立?能否予以变式拓展?等等!

二、试题呈现与分析

题目 如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC.∠ADC= 90°,AD =2BC =2CD =2.P为四边形ABCD所在平面外一动点,且PA= PB,∠APB= 90°.设M为PD的中点,则CM的值为_____,

分析 该题是笔者所在学校高三的一道模考填空题,试题结构简单明了.形式上为求线段的长度问题,主要考查了空间中的平行与垂直关系,解三角形等知识,体现了逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.但笔者发现该题内涵丰富,题中并未说明平面PAB与平面ABCD所夹角的大小,即P为空间中一动点,于是M亦为动点,但为何线段CM长度却为定值呢?遂笔者对该题深入剖析,现与读者分享交流,

三、解法的探究与评注

思考1 由题意知线段CM的长度为定值,因为不知二面角P-AB -D的大小,所以无法得到线段PC,PD的长度,因此难以在△PCD中解出线段CM长度,而由题设条件可以确定等腰直角△PAB的各边长度,故考虑利用平行关系转化到△PAB中求解.

解法1 如图2所示,取PA,AD中点分别为Q,,N,连结QB,QM,NC.易知△DCN中,DN⊥DC,且DN= DC=1.则NC=√2.由AN∥BC,且AN= BC=1.得四边形ABCN为平行四边形,则AB=√2,又P=PB,且∠APB= 90°,得PA= PB=1.

评注 解答该题的关键是将长度为定值的线段CM,平移到一确定△PAB内求解,在解一些有关动点的立体几何问题时,常用的解题策略即为将动直线放入一确定的平面内,将一动线段放入一确定的平面多边形中,这样就能达到“以静制动”的解题效果.如2021年全国甲卷立体几何题的第(1)问.

评注 解法2实为对解法l的优化,将长度为定值的线段CM构造为一确定三角形的一条边,直观展示出线段CM的長度不受二面角P-AB-D大小的影响.实际上,立体几何中有很多这样的例子,如下面这道问题.

如图5所示,已知矩形ABCD中,AB= 4/3 BC =8,△BAC沿AC翻折,使B到达P点的位置,连接PD,得到三棱锥P-ACD,则其外接球的体积为_____,

分析 题中并未说明二面角P-AC -D的大小,也就是三棱锥P -ACD是一个不定三棱锥,而由题目的设问可以确定该三棱锥的外接球半径为定值,这是为何呢?如图5,在矩形ABCD中,连结BD,交AC于点O,则OA=OB=OC=OD =5.而随着△BAC的翻折,注意到O为定点,且其到三棱锥P -ACD四个顶点长度保持不变,因此O为三棱锥尸-ACD的外接球的球心,5为半径,所以外接球体积为4/3π×5 3:500π/3.

思考3 利用空间向量解决立体几何问题,可以大大降低空间思维难度,因此考虑建立空间直角坐标系来分析点P.从而分析出点M的情况.

评注 引入空间向量解决立体几何问题,避开了传统方法中对平行、垂直、角、距离等问题所进行的大量繁琐的“定性分析”,只需建立空间直角坐标系进行“定量分析”.使得立体几何问题得到很大的优化,降低了对空间想象能力的要求,如下面这道问题

分析 该题要想做出点M的轨迹,难度很大,一来不知道其轨迹为何种曲线,二来纯粹的几何方法对学生的空间想象思维能力要求很高,因此考虑利用建立空间直角坐标系的方法,利用向量对问题进行分析.由题设不难

五、反思总结

本文所探究的立体几何题,虽然学生的得分率很高,从考试的角度来说是一道中等难度的题,甚至说一道简单题,但是从教学的角度来说它又是一道难题,一道难得的好题,其包含的背景丰富,变化中包含着不变,动点M的轨迹实为圆锥底面的圆.笔者认为,广大一线教师在教学中,要教会学生挖掘问题所蕴含的背景,看透问题的本质,弄清问题底层的逻辑,甚至教会学生对问题进行变式,这样学生才能跳出题海,学会总结归纳的学习方法.通过做一道题达到会一类题的学习效果,从而减轻学业负担,提高学习效率和解题能力,增强数学关键能力和核心素养.

(收稿日期:2022 -03 - 11)

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