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初中数学习题二次开发与利用策略的研究

2022-06-17余亚明

数学学习与研究 2022年4期
关键词:思维拓展变式教学二次开发

余亚明

【摘要】教学中,我们如果对数学习题只进行一次性使用,这样就不能最大化地发挥这些习题的作用,要发挥它们的全部作用就需要对它们进行二次开发.教材上的习题具有二次开发的价值,这些习题能够使得所学新知识得到综合性的运用.

【关键词】习题; 二次开发;思维拓展;变式教学

在“双减”背景下,通过大量的习题训练来培养学生的解题能力,这种增加学生负担、高耗低效的教学方式显然是行不通的,我们可以通过对教材上的习题进行二次开发来寻找一种低消耗、收益更高的方法.教师可采用一题多用、多题重组的方法,这样能充分唤起学生的好奇心和求知欲,调动他们积极参与到学习中来,化被动为主动,激发学生產生学习的兴趣和热情,使学生在对知识进行全面、深刻理解的同时进一步掌握知识,思维品质也获得更好的发展.

对数学习题的二次开发利用可以从以下几种不同的角度进行:

◆多题一法,培养学生的建模思想

建模是数学学习的重要内容之一,这就要求教师能利用建模思想,从教材中寻找典型的、具有代表性的题目进行研究、归纳和提升,使这种题型成为解决类似问题的模型.例如,在刚学“解二元一次方程组”时的思路是“消元”, 教材上提供了方程组x+y=10,2x+y=16,,教师先由实际问题引导学生了解y可以用10-x表示,这样第二个方程就可以表示为2x+10-x=16,这样二元一次方程就转化为了学生熟悉的一元一次方程,解出x,进而就能得出方程组的解,这样把未知数由多变少,逐个解决的思想就是“消元”的思想.再如,在“解分式方程”时的思路是“转化”,教材上提供的例题分别是:解方程2x-3=3x和xx-1-1=3(x-1)(x+2),显然,这里提供了最基本的两个方程作为例题,让学生通过去分母、去括号等方法完成从分式方程到整式方程的转化,这是解分式方程的主要思路.因此,我们在对教材进行二次开发时,应当秉承这一思路,即强调建模的思想,学生掌握了解决问题的模型,然后模仿进行编题,学生会编题了,那么解决这一类型的题就自然而然了.

◆一题多用,培养学生的思维能力

教材所选题目都是非常经典的,我们要善于对教材中的题目进行开发利用,可以从以下几个角度进行.

一、一题多解,让学生的思维更发散

不同的人思考问题的角度、途径不尽相同,学生在解决问题时有了一种方法,惯性使然,他不会再停下来去思考其他方法,因此,教师要引导学生从不同角度、用不同的论证方式去思考问题,探求不同的解决方案,这样就能拓宽学生的思路,多方向发展他们的思维,培养他们思维的发散性.

例如:引导学生观察方程组x+y=102x+y=16中,两个方程中y的系数有什么关系?利用这个关系,你能得到不同于前面的方法解这个方程组吗?这样学生就会不拘泥于一种方法解题了.

例如:四边形ABCD为正方形,点E为线段AC上的一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F.

求证:EF=ED.

笔者做了一定的调查,发现多数学生都是习惯以下解法.解法1:如图2所示,作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,利用正方形中AC平分SymbolPC@BCD得EP=EQ,再证明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED.

这时教师适当引导学生思考:从EF⊥DE的角度出发还能想到什么?学生就会想到以下两个论证的方法:

解法2:联想“K”型全等,如图3所示,作EM⊥AD于点M,延长ME交BC于点N,利用正方形中NE=NC=MD,再证明Rt△EDM≌Rt△FEN,得到EF=ED.

解法3:由四边形内角和易得SymbolPC@EDC=SymbolPC@EFB,如图4所示,连接EB,利用正方形中SymbolPC@EDC=SymbolPC@EBC,从而得出EB=EF,再由正方形中EB=DE,得到EF=ED.

二、一题多变,让学生的思维更灵活

一题多变其实就是变式教学,一题多变可以将条件改变,结论保留;也可以将条件保留,结论改变;或者由于题目的需要将条件和结论同时改变;也可以将已知条件和结论进行对换.变式变换了习题的形式,而题目所蕴含的本质不变,所以变式教学更多的是要引导学生去探寻变化中的不变,从而揭示问题的本质,它需要学生在原有思考问题的方法上加以拓展进行思考才能解决.教师用这种方式进行教学,能使学生根据变化了的情况积极思考,想方设法寻找解决的办法,从而培养思维的灵活性.

例如:如图5所示,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.

若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长.

本题解法是:取BD的中点P,构造三角形的中位线,得到直角三角形PEF,以及两条直角边,从而得出EF的长.

教师若对此题多做一些变式,既能培养学生的探索精神,又能提高学生的创新能力.

探索一:将题目中的条件“∠ABD=30°,∠BDC=120°”去掉,关于EF的长你能得出什么结论?并给予证明.

探索二:延长BA、CD,分别于FE延长线交于点G、H,如图6所示,你能判断∠BGF与∠CHF的大小关系吗?

这样的变式教学,不仅提高了学生运用所学知识解决数学问题的能力,而且培养了学生的创新能力,发展了学生的求异思维.

三、一题多思,让学生的思维更深远

牛顿说过:没有大胆的猜想就做不出伟大的发现.中学生具有非常丰富的想象力,因此,教师可以通过相关题目的特点,鼓励、引导学生大胆猜想,让学生的思维更深远.

例如:如图7所示,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F.

求证:OE=OF.

进一步思考:直线EF是否将平行四边形ABCD的面积二等分?若是,请说明理由.

拓展应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图8所示,张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块,分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,即两块地的分割线经过点P,请你作图帮助张大爷把地分开.

引導学生思考:

1.在题目的解决过程中,解题的关键是什么?

2.通过上面的研究,如果要将平行四边形的面积二等分,直线需要满足什么条件?

3.通过这道题,我们获得了怎样的解题体验?

一题多思让学生的解题思路更深远,从而培养了他们遇到问题时的应变能力.

四、注意迁移,让学生的思维更全面

初中数学中有很多题目,表面上看起来形式不一,但仔细分析,我们可以发现,它们在本质上是一样的,或者说通过转化,它们的实质相同.所以教师可以把它们归结为用同一种方法解答,把这样的题放在一起让学生做比较,可以使学生透过现象看本质,让学生的思维更全面.

例如:(1)如图9所示,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.求证:AF=BE.

(2)如图10所示,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ,判断MP与NQ是否相等并说明理由.

以上两题从表面上看并不相同,但实际上它们的本质相同,教师引导学生经过对比可以发现:将图10做平移变化为图11,然后根据平行四边形的性质和(1)中的结论即可解答本题.所以教师在平时的教学中要引导学生善于捕捉题目中的有关信息,认真比对,对相通的知识形成体系,不要出现“只见树木不见森林”的现象.

◆反思升华 培养学生的数学素养

日本著名数学教育家米山国藏说过:学生对作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等,这些随时随地发生作用,使他们终身受益.

数学的学习过程就是一个积累、运用和内化的过程,在学习过程中,反思尤为重要,它能让学生更深入理解和掌握学习内容,通过反思,学生才能真正启动思维,思想才能得到升华.作为组织者、引导者的教师要强化学生的反思性学习能力,要善于挖掘习题中的素材、意图,为学生创设反思的情境,这样学生就能主动反思,他们有了反思习惯,反思能力就会提高,对问题的理解就会深入,就能真正提高数学素养和能力.

总之,数学习题二次开发与利用能培养学生用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.

【参考文献】

[1]王子英.利用课本习题,助力初中数学教学[J].中学课程辅导,2014(4):23,28.

[2] 张继海.初中数学教材中例题、习题的演变方法.中国数学教育,2012(12):34-40.

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