崔海龙 董书平 章林 汪霞

摘要：本文以一道上海高考物理试题改编题目的解法叙述中的错觉分析入手，通过常规分析与推导得出一个较为复杂的“速度—角度”关系函数，并通過求导数、desmos作图工具软件等新手段进行多角度论证探究，最终对这一物理问题形成直观的物理图象和明晰的物理感觉。文章进一步指出，多种手段并用进行科学推理与论证，有利于物理学科核心素养中“科学思维”能力的培养，特别是对于参加“强基计划”的学生，能帮助其对物理问题形成全方位的认识。

关键词：物理学科 核心素养 科学思维

在高中物理教学与学习中，教师和学生可能对某些问题形成一些直观判断，也可称之为直觉，这些直觉有些是正确的，有些可能是错误的，也可称之为“错觉”。而如何培养学生正确的物理感觉[1]，需要从题目的初步印象中，发现物理概念和确定的物理意义，构建合适的物理模型，合理运用数学工具进行科学推理与论证，形成令人信服的结果。这一过程，恰恰就是物理学科核心素养中关于科学思维能力的要求，特别对于培养未来参与“强基计划”的学生尤为重要。

一、一道改编题解题分析过程的错误及一个待解疑问

笔者在对一道上海高考试题[2]进行研讨时，发现部分类似或改编题目及其解法[3，4，5]。其中，《中学生物理思维方法丛书·类比》2015年第一版第195—196部分内容[3]对这一问题的分析，存在直觉上的错误。

原题呈现（1994年上海高考试卷第六大题）[2]：

如图1，轻质长绳水平地跨在相距2l的两个小定滑轮A、B上，质量为m物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等。在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。先托住物块，使绳处于水平拉直状态，静止释放物块，在物块下落过程中，保持C、D两端的拉力F不变。

（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？

（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？

（3）求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H。

改编题及其分析如下[3]：

例题6.31如图2所示，细绳绕过相距为2l的两个定滑轮A和B，两端各挂一个质量为m的物体，在AB的中点C挂一个质量为M的大球，M<2m.开始时用手把球托住，轻轻释放后，这个球可能达到的最大下降距离是多少？

大球释放后，开始时球的重力大于AC、BC两绳中张力的合力，球向下做加速运动。随着球的下落，AC、BC两绳中张力的合力增大，球下落的加速度减小，但速度却不断增大，当大球下落到某位置满足条件Mg=2mgcosθ，

即到达静力平衡位置时（见图3），大球所受的合力为零，加速度为零，速度达到最大值vmax。接着，大球继续下落，AC、BC两绳中张力的合力大于球的重力，大球向下做减速运动（加速度方向向上），且加速度的大小越来越大，下落速度越来越小，直至速度等于零，大球下降到最低点。此后，大球重又向上做加速运动。

以上改编题的分析论述中，认为大球M下落过程中，“当大球下落到某位置满足条件Mg=2mgcosθ，即到达静力平衡位置时，大球所受的合力为零，加速度为零，速度达到最大值vmax。”直觉上看似有道理，但仔细思考会发现：“Mg=2mgcosθ时，M到达静力平衡位置”这个判断，在改编题的场景中可能有问题。

与改编题不同的是，如图1所示的高考原题中，只在中间悬挂了质量为m的物块，两侧并没有悬挂物块，而是分别施加竖直向下的恒力F=mg。因此，的确是在mg=2Fcosθ=2mgcosθ时，物块m的速度达到最大值。但是，图2所示的改编题与高考原题相比，两侧挂质量为m的物块，与施加大小等于mg的竖直向下的恒力F之间，显然存在差别。

实际上，对于改编题（如图2），对大球M做受力分析易知，Mg-2Fcosθ=Ma1

其中F为两侧绳中拉力大小，a1为M的加速度大小，取竖直向下为正。只有满足Mg=2Fcosθ，即到达静力平衡位置时，大球所受的合力为零，加速度为零，速度达到最大值vmax。需要注意的是，此处的静力平衡条件Mg=2Fcosθ和改编题论述中认为Mg=2mgcosθ达到静力平衡之间是存在差别的，二者不能直接等同。除非两根细绳中的张力与物体m的重力相等，即F=F1=F2=mg，二者可以等同。但显然的是，在刚开始M加速时，m也加速，F>mg，只有当m达到静力平衡时才有F=mg。

利用多手段探究破除物理错觉2022年5月中第14期（总第114期）那么，有没有可能存在这么一种情况，即M向下运动过程中，速度达到最大值时，两侧m的速度也同时达到最大值，从而恰好满足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ？这个待解疑问，我们将在下文中进行探究。

二、常规推理与探究

各物理量标注如图4所示。当M下落h时，两边m同时上升（s-l），由动能定理得：

Mgh-2mg（s-l）=12Mv21+2·12mv22①

其中，v1为M的速度大小，v2为两侧m的速度大小。M和m沿绳方向具有相同的运动速度，故有：

v1cosθ=v2②

其中，θ为M与定滑轮的一段细绳与竖直方向的夹角。

另有：

tanθ=lh③

s·sinθ=l④

解得：

v1=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ⑤

v2=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ·cosθ⑥

到了这里，我们精确地写出了M的速度v1作为θ的函数的表达式。但是，看着这个表达式，我们能得到的直观信息有限，很难一下子理解问题的本质，难以获得明晰的物理感觉。因此，我们需要引入新的手段进一步进行推理、论证和探究，建立直观的物理图象和明晰的物理感觉。6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E

三、新手段论证探究

对于M下落过程中的速度v1表达式⑤，如果要探究v1取得极大值时θ满足的条件，有两种方法。

一是導数的方法进行定量探究，二是通过作出函数图象进行直观探究。

手段1运用求导数方法，探究：“v1取得极大值时θ满足的条件”及M与两侧m是否同时达到速度最大？

为便于探讨，可以设v1=2glf（θ），其中f（θ）=Mcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ0<θ≤π2。

对f（θ）进行求导数处理，过程比较复杂。不妨取一个特别情况M=m=1，则：

f（θ）=cosθ+2（sinθ-1）（1+2cos2θ）sinθ

f′（θ）=

（2cosθ-1）（1+2cos2θ）+4sin2θcosθ[cosθ+2（sinθ-1）]（1+2cos2θ）2sin2θ

当f′（θ）=0时，M下落的速度v1取得极大值。此时，θ满足的方程为：

2cosθ+4sin2θcosθ1+2cos2θ[cosθ+2（sinθ-1）]=1

我们来尝试回答上面的疑问，即：有没有可能存在这么一种情况，即M向下运动过程中，速度达到最大值时，两侧m的速度也同时达到最大值？

不妨设v2=2glφ（θ），其中：φ（θ）=f（θ）cos2θ0<θ≤π2。由复合函数求导规则，易知：

φ′（θ）=f′（θ）cos2θ-2f（θ）sinθcosθ

因为f（θ）≥0，且0<θ≤π2，故当f′（θ）=0时，φ′（θ）<0。即，在M向下运动过程中（θ由90°开始逐渐变小），当M速度达到最大值v1max时，两侧m的速度仍然在变大。因此，M和两侧的m并非同时达到速度的最大值，因而无法恰好满足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ。可见，理性的推导有时优于通常意义下的直观感觉。

运用导函数的方法，能探究推理出M下落速度达到最大时θ满足的方程，以及中间的M和两侧的m并非同时达到速度最大的结论，但仍然不够直观。为此，我们需要另外的方法，呈现明晰直观的物理图象。

手段2运用作图方法，直观展示v1θ图象，并探究：“v1取得极大值时θ满足的条件”及M与两侧m是否同时达到速度最大？

利用网页版desmos作图工具，可以进行作图。为了方便，我们把式⑤、⑥中的v1和v2归一化，令v′1=v1gl=2f（θ），v′2=v2gl=2φ（θ），保留M、m作为参量，作出v′1θ和v′2θ的图象。图4描绘了m=0.7M（满足题设M<2m[1]）时的图象。

从图5可以明显看出，在θ由90°开始逐渐变小的过程中，M、m的速度皆是先变大再变小，但是二者的最大值v1max和v2max并非同时出现。而且，v1max先达到，v2max后达到，即不存在M速度达到最大值v1max时，两侧m的速度也同时达到最大值v2max这种情况，因此，也没有恰好满足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ。由图5可以看到，当M速度达到最大值时，m仍处于加速运动状态，此时绳中拉力F>mg，从而Mg=2Fcosθ>2mgcosθ。

M、m在分别达到最大速度后，速度皆逐渐变小，直到M运动到最低点，此时v1=0，v2=0。此后，M向上运动直至到达初始释放时的位置，这样往复运动（在不考虑任何运动损耗的理想情况下）。

图6展示了m=M时v′1θ和v′2θ的图象。此时，可以看出θ≈67.453°时，M达到最大速度v1max≈0.6212gl。而如果认为Mg=2mgcosθ时M达到最大速度v1max，则对应的cosθ=12，此时θ=60°，这与θ≈67.453°相比，显然是不对的。

运用作图方法，可以直观展示在θ由90°开始逐渐变小过程中的速度大小变化，也可以直观地看到，在M和m取不同值时，M和两侧的m各自达到速度最大值时θ的取值，帮助学生形成直观的物理感觉。

四、结语

本文运用导函数和数学作图等手段进行科学探究与论证，对中间物块下降和两侧物块上升过程中的速度问题，进行了多角度的深度探究，纠正了改编题中关于中间物块下降过程中达到速度最大条件的错觉，对中间物块下降过程中达到最大速度和两侧物块上升过程中达到最大速度的时间先后、大小，及与夹角的关系等问题，形成了理论的坚实认知和直观的物理图象，形成了明晰的物理感觉。

数学能提高和加深学生的物理感觉。一方面，是超越高中阶段物理学习正常要求的数学推理。虽然在中学阶段，对学生学习物理的深度理论推导（如通过导数进行研究等）要求较低或基本不做要求，但是对那些未来准备参加高校“强基计划”的学生，以高阶方法作为工具解决物理问题是必要的。特别是，导数的方法，也是高中数学的重要内容，高水平的学生应该可以熟练掌握和运用。

另一方面，对于数学推导出来的复杂数学关系，运用作图工具来着展现，可使枯燥的科学推理与论证变得形象、生动、易于理解，有利于物理学科核心素养中科学思维能力的培养，能帮助学习者对物理问题形成全方位的认识，培养学生成为对物理问题有全方位物理感觉的拔尖人才。

参考文献：

[1]范洪义，吴泽.物理感觉启蒙读本[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2018：13.

[2]尹雄杰，张晓顺.物理高考题典：压轴题[M].2版.合肥：中国科学技术大学出版社，2020：1920.

[3]王溢然.中学生物理思维方法丛书：类比[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015：195197.

[4]程稼夫.中学物理奥林匹克物理教程：力学篇[M].2版.中国科学技术大学出版社，2013：260.

[5]舒幼生.力学[M].北京大学出版社，2005：106.

责任编辑：黄大灿6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E