刘洋

[摘  要] 数学建模是高中数学学科核心素养的重要组成部分，在传统教学中也有着重要的地位，传统教学中的不足之处在于：学生完成了数学抽象后，要将形成的模型用数学语言清晰地表达出来，而数学语言运用恰恰是一个薄弱环节. 在数学建模的教学中，教师必须高度重视数学语言的价值，要努力引导学生在运用数学语言的基础上，将数学模型描述得更加清楚，这样才能让学生更好地建立数学模型，进而运用数学模型.

[关键词] 高中数学;数学建模;语言表达

数学建模是高中数学学科核心素养的重要组成部分，在传统教学中也有着重要的地位. 对数学建模教学，很长一段时间里都处于宏观研究的境地，让学生研究生活中的实际事例，然后用数学方法对其抽象并表达，最终建立起包括数学概念、规律在内的数学模型，是主要的教学思路. 应当说，这样的教学取得了一定的效果，但是也暴露出了一些细节上的不足. 例如，在学生完成了数学抽象后，要将形成的模型用数学语言清晰地表达出来，就是教学中容易被忽视但又非常重要的一个环节.

围绕数学建模进行语言表达能力培养的研究，是一个非常切合实际同时又能够有效培养学生数学学科核心素养的研究. 数学建模对应的是学生数学学习的过程，学生通过数学建模所建立起來的模型——广义视角下的数学模型内容是十分丰富的，数学概念与数学规律都被认为是一种数学模型，所以当学生建立起数学模型后，能否准确地运用数学语言来表示自己的学习结果，直接影响着数学知识的有效建构，也影响着学生学习水平的提升;而且从学习心理学的角度来看，培养学生的语言运用能力，实际上就是培养学生的信息输出能力. 学生在数学建模的过程中所形成的认识在准确转化为数学语言后，才意味着一个相对完整的学习过程的结束. 所以从这个角度来看，在数学建模中培养学生的语言表达能力，实际上是学习的最后一个重要环节，是学生建构数学知识体系的临门一脚.

笔者注意到数学建模中学生数学语言表达能力的重要性后，认真进行了研究，获得了一些新的认识.

数学建模需要重视数学语言的运用

数学模型在学生的认知当中有不同的表征方式，有的是以图景的形式存在的，如“平面向量”的模型在学生的大脑中就是一条带有箭头的直线的表象;有的是以语言的形式存在的，如一些与“形”无关的数学概念，学生在大脑中形成的模型往往就是纯粹的数学语言，如“平面上两点之间的距离”，其计算公式就是，其在学生大脑中形成的模型，就是以这样的一段语言来表征的，没有一个形象的图景，只能依赖数学语言. 这个时候反思曾经的数学教学，可以发现对于这些类型的知识，其实很少有教师基于模型的认识去实施教学，对语言的加工也只局限于学生的记忆而非以之形成模型认知.

实际上，在数学教学中强化建模，本身就有培养数学思维的目的，而且更多的是抽象思维. 从学习心理学的角度来看，抽象思维的加工对象正是语言，离开了语言，抽象思维就无法有效展开，而离开了抽象思维，数学建模也就无法有效展开. 因此，数学建模必须高度重视数学语言的运用. 这个时候再来看数学建模，其就是将实际问题首先转化为相应的数学问题，即数学模型，然后对这个数学模型进行求解，这个过程就称为数学建模. 建成数学模型后，再利用其去解决原先的实际问题或新的问题. 分析这一过程，其实也能够发现，抽象实际事物时靠的就是教师的数学眼光，那么数学眼光从哪里来？自然来自以数学语言为工具的数学思维;解决问题时，本身就需要用数学思维加工问题，并用数学语言表征问题，此时数学语言仍然是无法回避的一个关键要素.

因此，在数学建模教学中，教师必须高度重视数学语言的价值，要努力引导学生在运用数学语言的基础上，将数学模型描述得更加清楚，这样才能让学生更好地建立数学模型，进而运用数学模型.

数学建模过程中语言运用能力的培养

在数学建模的过程中，学生数学语言运用能力的培养，是需要理论与实践共同指导的. 从理论的角度来看，上面已经强调过，那就是数学语言既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现. 斯托利亚尔提出：“数学教学就是数学语言教学！”这样的判断对于当前高中数学教学来说，具有醍醐灌顶的作用，而学生能否运用恰当、准确的数学语言有逻辑地表达、交流，也体现了学生数学素养的高低. 由此可见，学会正确、合理地使用数学语言是数学学习的一项基本而重要的任务. 在笔者的实践中，基于数学建模的数学语言运用能力的培养，主要遵循的思路是：用数学语言驱动数学思维完成数学抽象，在数学建模的过程中完成学生语言向数学语言的转化.

例如，在“圆的标准方程”的教学中，可以赵州桥为情境素材，让学生先观察赵州桥的“圆拱”，然后提出问题：如何求出圆拱所在圆的方程？

这样一个问题的解决，本身就需要一个数学模型. 学生第一步进行数学抽象很简单，只要将“圆拱”还原到“圆”当中即可——这里的“圆拱”是生活表述而“圆”是数学概念. 从数学语言运用的角度来看，此处是第一次数学语言的运用，但这个运用对于能力培养而言作用一般，因为凭着生活经验即可完成这一转变. 其后，建立直角坐标系并求出圆上某点P（x，y）所满足的关系式，本质上就是借助于数学语言与数学概念的逻辑关系进行推理的过程，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，由此建立起来的关系式就是=r，经由推理后即可得圆的标准方程（具体略）.

从模型的角度来看，学生在情境中运用数学语言提出问题、描述问题，其后又运用数学语言（包括文字语言和图形语言）去引导数学模型的形成. 尤其是在推理的过程中，学生有可能出现的朴素语言是“到原点（圆心）的距离为定值的点的集合”等，这实际上是从集合的角度对圆进行的定义，属于数学语言中的文字语言. 在此基础上向符号语言进行转化，即在逻辑推理的基础上得出方程，应当成为运用数学语言的核心环节.

由此也可以发现，数学语言在数学建模过程中的运用，实际上不能局限于文字表述、符号表述，也不能局限于文字或符号对数学规律的描述，更多的应当是文字、符号以及数学逻辑关系的组合运用. 只有形成这样的认识，才算是真正理解了“数学教学就是数学语言教学”. 这样的理解，实际上既注重数学语言本身，更注重数学语言之间的逻辑. 在此基础上可以得出的结论是：只有当学生基于准确的数学逻辑运用数学语言时，才是学生数学语言表达能力养成的时候.

数学建模教学要高度关注关键细节

数学建模作为数学学科核心素养中最重要的一个因素，其是对数学研究对象的高度概括，是数学思想方法的集中体现. 对于数学与数学语言的关系，语言学家布龙菲尔德说：“数学是语言所能达到的最高境界.”数学是思维严谨的科学，精妙的数学思维包含在丰富多彩的语言中，训练数学语言的过程就是训练思维品质的过程，也是培养数学能力的过程.

什么是数学品质？什么又是数学能力？其实这些问题都可以在数学建模的视角下回答：数学品质就是学生在数学建模过程中表现出来的思维品质，数学能力就是学生在数学建模过程中表现出来的知识理解与运用能力. 关注学生在数学建模过程中的语言运用，可以更好地洞察学生数学学习的细节，尤其是当学生已经有了认知但却无法用准确的数学语言来描述认知时，这实际上就是借助于数学语言培养学生的数学思维，进而提升学生数学品质的过程. 在这样的过程中，学生可能会有一个语言运用从低阶到高阶的阶段. 在低阶，学生对数学语言的运用可能是粗糙的、肤浅的，其中还可能会夹杂着一些生活语言，这种模糊的语言运用，需要得到教师的有效指导，需要向精确的数学语言延伸. 在学生得到数学语言的相关表述后，还应当引导学生进行比较——比较的对象就是自己所组织的语言以及后来所选择的数学语言，通过比较发现两者之间的差别，发现自己在语言运用过程中存在的一些不足. 这种带有反思性质的比较，对于语言表达能力的培养来说，有着重要的促进作用.

综上所述，高中数学教学中借助于数学建模进行语言能力的培养，是打造高效课堂的重要抓手，是促进数学学科核心素养落地的重要途径，在实际教学中必须高度重视、悉心研究，如此才能更好地将高中数学传统教学与现代教学结合起来，从而让高中数学教学呈现出更加理想的形态.