左瑞

（宿豫中等专业学校，江苏 宿迁223800）

在控制领域中倒立摆具有多变量、非线性、强耦合等特性，这些典型特征使它成为了检验控制策略正确性与可行性的平台。对该类系统提出了诸多控制方法，所得成果在众领域有广泛的应用价值。本文对倒立摆展开研究也有现实意义。

1 二级直线倒立摆的数学建模

考虑到系统的多输入和多输出特性，采用受力分析建立系统模型十分复杂。本文采用拉格朗日方程，即从能量观点出发建立数学模型。二级直线倒立摆结构如图1所示。

图1 二级直线倒立摆结构示意图

系统各参数及数值如表1所示。

表1 系统参数

设摆杆1、摆杆2、质量块坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），则有：

由式（5）—（7）分别求得系统各环节的动能。系统总动能T=Tm+Tm1+Tm2+Tm3。

系统的总势能V=Vm1+Vm2+Vm3=m1gl1cosθ1+m2g（2l1cosθ1+l2cosθ2）+2m3gl1cosθ1。

拉格朗日函数为L=T-V。

2 性能分析

根据系统稳定判据可知，系统若要稳定，所有特征根均需具备负实部。本文借助MATLAB简化求根。编辑程序如下：

经过计算，特征值s1=-10.043 8，s2=-5.026 2，s3=10.04，s4=5.2，s5=0，s6=0。不难发现6个特征值中有2个正实根和2个零根，根据劳斯判据，系统不稳定。

根据状态能控性的秩判据可知，如果系统是状态完全能控的，则能控性矩阵Qk的秩需等于系统阶次6。借助MATLAB提供的矩阵秩计算函数可以求得Qk的秩，详细代码如下：

经计算，矩阵Qk秩为6，得知系统是完全状态能控的。

根据状态能观测性的秩判据可知，如果系统是状态完全能观测的，则能观测性判别矩阵Qc的秩需等于系统阶次6[2-3]。同样借助MATLAB提供的矩阵秩计算函数求Qc的秩，详细代码如下：