刘海琴， 邵燕灵

(1.山西农业大学基础部， 山西 太谷， 030801； 2.中北大学大数据学院， 太原 030051；3.中北大学理学院， 太原 030051)

1特殊图的ABC能量

定理1当n≥3时，路图Pn的ABC能量为：

定理2当n≥3时，路图Pn的ABC特征多项式满足

证明当n≥3时，由定义知路图Pn的ABC特征多项式为

PABC(Pn，λ)=det(λIn-ABC(Pn))=

(1)

引理2[1]如果M是非奇异矩阵，则有

定理31) 星图Sn=K1，n-1(n≥2)的ABC特征多项式为

PABC(Sn，λ)=λ2-n[λ2-(n-2)]；

2) 星图Sn(n≥2)的ABC能量为

证明1) 星图K1，n-1的ABC矩阵为

(2)

因此，由引理2得到星图K1，n-1的ABC特征多项式为

PABC(Sn，λ)=det(λIn-ABCP(Sn))=

(3)

PABC(Sn，λ)=λ2-n[λ2-(n-2)]．

2) 根据1) 中的结论直接计算可得

定理41) 完全图Kn(n≥2)的ABC特征多项式为

PABC(Kn，λ)=

2) 完全图Kn(n≥2)的ABC能量为

证明1) 易得完全图Kn(n≥2)的ABC矩阵为

ABC(Kn)=

(4)

于是，由引理2得到完全图Kn(n≥2)的ABC特征多项式为：

PABC(Kn，λ)=det(λIn-ABCP(Kn))=

(5)

PABC(Kn，λ)=

2) 根据1) 中的结论直接计算可得

定理51) 完全二部图Km，n(m，n≠1)的ABC特征多项式为

PABC(Kn，λ)=λm+n-2[λ2-(m+n-2)]；

2) 完全二部图Km，n(m，n≠1)的ABC能量为

证明1) 由于完全二部图Km，n(m，n≠1)的ABC矩阵为

(6)

于是，由引理2得到完全图Km，n(m，n≠1)的ABC特征多项式为

PABC(Km，n，λ)=det(λIn-ABCP(Km，n))=

(7)

2) 根据1) 中的结论直接计算可得

由定理5可知，完全二部图的ABC能量仅与图的顶点总数有关，而与该二部图的结构无关．

若n为任意的正整数，Fn指的是有2n+1个顶点和3n条边的友谊图.换言之，友谊图Fn是一种可以通过n个3长的圈图C3与一个公共顶点合并而形成的图.图1中给出了友谊图F2，F3和Fn．

图1 友谊图F2，F3和FnFig.1 Friendship graphs F2，F3and Fn

定理6当n≥2时，

1) 友谊图Fn的ABC特征多项式为

PABC(Fn，λ)=

2) 友谊图Fn的ABC能量为

证明1) 由于友谊图Fn的ABC特征多项式为

(8)

(9)

(10)

于是，

2) 根据1) 中的结论直接计算可得

定理7当n≥2时，

图2 风车图

(11)

令

λn+1(λ2-1)n-1(λ2-1-n).

2) 根据1) 中的结论直接计算可得

定理8对于顶点数同为m(m-1=6k，k为整数)的友谊图Fn和风车图Dn，EABC(Dn)

证明当顶点数为m(m-1=6k，k为整数)时，可知在友谊图中C3的个数为3k，在风车图中C4的个数为2k，由定理6和定理7知

易得

EABC(Dn)

2特殊图删边后的ABC能量

本部分考虑几类特殊图在删去一条边后其ABC能量的变化．

引理2[8]令G=G1∪G2∪…∪Gp，则有

EABC(G)=EABC(G1)+EABC(G2)+

…+EABC(Gp)．

定理91) 若e∈E(Pn)，则有EABC(Pn-e)=EABC(Pr)+EABC(Ps)，其中r+s=n；

2) 若Sn表示n个顶点的星图，且e∈E(Sn)，当n≥3时有

EABC(Sn-e)=EABC(Sn-1)．

定理10若e为完全图Kn(n≥4)的一条边，Kn-e为Kn(n≥4)删去一条边所得，则有

EABC(Kn-e)

证明由于图Kn-e的ABC矩阵为

由引理2得到图Kn-e的ABC特征多项式为

PABC(Kn-e，λ)=det(λIn-ABC(Kn-e))=

(12)

EABC(Kn-e)