张洁

[摘  要] 为了激发学生数学学习兴趣，提高教学有效性，引导学生走上“乐学数学”“会学数学”之路，在高中数学教学中必须重视问题情境的创设，进而借助于熟悉的、生活化的情境激发学生的探究欲，借助于启发性情境、发现性情境促进学生的思维能力、学习能力全面提升.

[关键词] 问题情境;思维能力;学习能力

面对数学学习很多学生是被动的、消极的，因为学生常感觉数学是枯燥无味的，很难激起学习的热情. 因此，为了调动学生学习的积极性，激发学生的探究欲，笔者认为，在高中数学教学中要重视问题情境的创设，让学生借助于情境自然地融入数学学习，进而淡化数学的抽象感，消除学生的厌学情绪，增强学习信心，提升学习能力.

[⇩] 借助于熟悉的情境激发探究欲

从学生熟悉的素材出发创设问题情境，选取与学生息息相关的问题，可拉近学生与问题的距离，使问题情境更具“亲和力”，进而更容易使学生产生探究欲，使学生兴趣盎然地投入学习，有助于学习效率的提升.

案例1 “平均数”的应用.

某区高三共有学生4000人，在某区组织的一模考试5道填空题中，前3题为必做题，第4题和第5题为选做题，这5道填空题的得分如下：前3题的平均分是12分;第4题共2500人作答，平均分为3分;第5题共1500人作答，平均分为1.5分. 问：某区高三这一模考试的5道填空题的平均分为多少？

教师在讲解平均数时“就地取材”，选取了学生熟悉的情境，于是学生很快得出了答案：=14.435（分）.

为了让学生更加深入地领悟“平均数”的应用价值，教师又设计了一个变式题目：某品牌空调店经销1匹、1.5匹、2匹三种型号的空调，6月份第二周的销售情况如表1所示. 问：6月份第二周平均每天的销售额为多少？

题目给出后，学生很快得到平均每天的利润为≈785.7（元），进而得出“平均每天的利润=总利润÷总天数”.

平均数有着广泛的应用，教学中教师可精选一些学生看得见的、摸得着的、熟悉的问题情境来激发学生的求知欲，进而达到夯实基础、激发兴趣的目的.

[⇩] 借助于启发性情境发展数学思维

虽然表面上看直接灌输更加高效，然若在知识生成的关键点上缺乏思维过程，则将难以形成学习能力，因此可以在知识形成的“关键点”或“连接点”处创设启发性情境，让学生经历猜想、联想、验证等思维过程促进学习能力提升.

案例2 已知在△ABC中，角A，B，C所对应的三边a，b，c成等比数列.

（1）求角B的最大值.

（2）满足三边a，b，c成等比数列的△ABC是否唯一？

求解第（1）问较简单，即由a，b，c成等比数列可得b2=ac，所以cosB==≥=，所以0<B≤. 所以角B的最大值为（当且仅当a=c时，取“=”），取“=”时，△ABC为等边三角形.

求解第（2）问时教师采用了小组合作的模式进行，通过“探究”将问题引向深处，激发学生学习的热情. 探究后学生给出了这样的猜想：

生1：当三边a，b，c分别取1，2，4或1， 3，9或1，，时都不能构成三角形，猜想这个三角形应该是唯一的.

师：很大胆的想法，那你能够用什么方法加以证明呢？（生1表示不能证明）

师：大家思考一下cosB的取值范围，看看是否能联想到什么呢. （教师及时引导，很快有了答案）

生2：由-1<cosB<1，得-1<<1，解得<<. 只要满足<<这个条件，就会存在满足三边a，b，c成等比数列的三角形. 比如：取a=2，c=1，则b==. 这样可以验证生1的猜想是不成立的，满足该条件的三角形并不是唯一的.

本题的第（1）问学生能轻松求解，在第（2）问的求解过程中，部分学生的解题思路中断，教师及时引导，使第（2）问更加具体化，借助于启发性的问题，引导学生猜想、推理，进而提升了解题信心，促进了思维发展.

[?] 借助于生活化情境领悟“学以致用”

教师在问题情境创设时要尽量贴近生活，顺应时代的发展，不能一成不变地照搬原有情境，那样会使情境失去应有的活力.

随着时代的进步，线上理财产品日益多样化，在教学中可以创设与之相关的情境，让学生充分体验数学的应用价值，方便学生为家人提供更加合理的理财规划，让学生领会“学以致用”的乐趣，进而培养学生“用数学”的意识.

案例3 某银行的手机银行有这样一个理财产品：该款理财产品是保本投资，其年化利率为5%，10万元起售，37天到期，若共买了10万元，37天可以获得多少利息？

题目给出后，学生很快应用计算平均数的经验先根据年化利率计算出每天的利息，接下来再乘37即可计算出结果. 通过富有时代感情境的设计，让学生对理财形成了一个合理的认识，懂得何为“保本投资”，何为“风险投资”. 学习数学的目的不是单纯地考一个好成绩，“学以致用”才是数学学习的魅力所在. 只有让学生体会到了“学以致用”的真正意义，学生才有兴趣关注生活中的“数”，进而将其抽象为数学问题，借助于数学的概念、公式、定理来解决现实中的问题，使生活与数学相互转化，既体验到了“做数学”的快乐，也体验到了“用数学”的价值，进而拓展学生数学活动的空间，发展学生的应用意识.

[⇩] 借助于发现性情境培养创新意识

数学学习若仅是“就题论题”，不重视拓展和延伸，那么学生的解题思路就难以拓宽，不利于解题能力的提升. 为此，在教学中教师要重视引导，充分暴露规律发现和探索的过程，进而让学生发现问题本质，提升解题能力.

案例4 设x>0，y>0，x+y=1，则+的最小值是______.

师：若x>0，x+的最小值是多少呢？

生3：根据基本不等式公式可得x+≥2=2. 当且仅当x=时取“=”，即x=1时取“=”. 所以当x=1时，x+的最小值为2.

师：若x>0，2x+的最小值是多少呢？

生4：根据基本不等式公式可得2x+≥2=8. 当且仅当2x=时取“=”，即x=2时取“=”. 所以当x=2时，2x+的最小值为8.

师：根据上面的两个小问题，你能得出什么规律呢？

生5：对于x>0，求ax+的最小值问题时，我们都可以应用基本不等式的思路求解.

师：只要当x>0吗？如果求2x-的最小值，是否也适用呢？

生6：不行，因为利用基本不等式必须保证其值为正，故条件应该为x>0，a>0，b>0.

师：很好！+=

+

（x+y），该等式是否成立呢？为什么？

生7：成立，因为x+y=1，故该等式成立.

按照这个思路，学生将等式+=

+

（x+y）的右侧展开，得到4+++1. 利用基本不等式公式可得4+++1≥5+2=5+4=9. 当且仅当=时取“=”，又x+y=1，所以当x=，y=时，+的最小值是9.

讲解本题时教师将问题进行了拆分，搭建了一個自由、和谐的问题情境，让学生轻松地解决小问题后成功求解. x+y=1这一已知条件的巧妙应用为基本不等式的实施奠定了基础. 在求解本题的过程中，学生不仅收获了成功的喜悦，而且感受到了数学方法的微妙，进而对此类问题的探究产生了浓厚的兴趣. 基于此，教师及时引入了两个变式题目，让学生乘胜追击，创造了下一个惊喜.

变式1：已知函数y=a1-x（a>0且a≠1）的图像恒过点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则+的最小值为多少？

变式2：已知正项等比数列{a}满足a=a+2a，若存在两项a，a，使得=4a，则+的最小值为多少？

对于变式1，学生很快根据“函数y=a1-x（a>0且a≠1）的图像恒过点A”求得点A的坐标为（1，1），又mn>0，所以m>0，n>0. 接下来，学生利用案例4的解题思路顺利求解了——求出+的最小值为3+2. 变式2较案例4和变式1的难度略有增加，学生在求解时遇到了一些小阻碍，这时教师营造了几个小问题情境加以引导.

师：变式2与原题（案例4）及变式1的结论相似，因此先想一下我们在求解这两题时求出了什么关系，再思考变式2.

生8：应先求出m，n的等量关系.

师：如何求m，n的等量关系呢？（教师留出时间让学生独立思考）

生9：由已知条件“正项等比数列{a}满足a=a+2a”可得q=2，又=4a，可得m+n=6（m>0，n>0）.

师：很好，求出m，n的等量关系为m+n=6，但等式右侧不是1，该如何转化呢？

生10：（m+n）=1.

接下来，教师请学生板演了求解过程：+=

+

·（m+n）=

5++

≥

5+2

=，当且仅当=时取“=”. 又m+n=6，所以m=2，n=4时，+的最小值为.

通过变式1和变式2的推广，学生再遇到形如“ax+（x>0，a>0，b>0）”求最值的问题时会格外轻松. 通过问题情境的创设，学生不仅总结出了问题的一般规律，而且学会了创造，进而拥有了“以不变应万变”的能力. 数学题目虽然是多变的，然其往往蕴含着不变的规律. 通过问题情境的创设，让学生自己去发现不变的规律，可以使学生感觉到数学越学越有趣，越探究越显数学的魅力，从而逐渐引导学生走上自我探究和自我创新之路.

总之，要改变数学的枯燥乏味，让数学学习自然流畅，离不开问题情境的创设. 因此，在教学中教师要根据学生的特点和题目的特征有针对性地创设问题情境，以此提高教学的有效性.