刘 芸， 张春妮, 李本崇

(西安电子科技大学 数学与统计学院， 陕西 西安 710126)

一个图模型是一族概率分布，这里图用来表示随机变量间的条件独立关系。图中顶点表示随机变量，图中的条件独立情形由与之相关的分离准则确定。无向图模型已在统计学和机器学习的许多问题中得到应用[1-3]。

在无向图模型中，模型的维数问题对于检验[1]和模型选择[2]来说都非常重要。文献[1]中命题4.35给出了离散可分解图模型维数的显式计算公式。此外，还给出了一个计算层次模型维数的递归公式，层次模型的一个特殊类型是离散无向图模型(DUGMs)。文献[4]将参数定义的模型转化为隐式描述，并从代数几何的角度分析了DUGMs。事实上，这种代数几何刻画的思想起源于文献[5]。给定一个DUGM，可以将其对应的环面理想的维数看作该模型的维数，但并没有明确的公式可用来计算相应的环面理想的维数或相关矩阵的秩。文献[6]提出了一种新的链图参数化方法，将链图模型的维数定义为参数化过程中可自由设定的参数个数，即文献[6]给出了一个显式的计算DUGMs的维数公式。本文研究DUGMs维数的两个定义是否一致。

一个概念类的Vapnik-Chervonenkis维数和欧氏嵌入空间的最小维数是评价一个分类器分类性能的两个重要指标[7-8]。文献[9]证明了任意k值离散可分解图模型诱导出的概念类的Vapnik-Chervonenkis维数和欧氏嵌入空间的最小维数等于其独立参数的个数加1。文献[10]证明了对于任意给定的DUGM，其诱导的概念类的Vapnik-Chervonenkis维数和欧氏嵌入空间的最小维数相同。……