吕 傲，傅 骁*，李 遥，张 聪，段发阶，蒋佳佳

(1.天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072；2.中国船舶工业系统工程研究院，北京 100036)

水平仪又叫倾斜仪，其核心是倾角传感器，是用来测量相对于水平或者铅垂位置微小倾斜角度的一种通用角度计量器具，也可以用来测量机床导轨的直线度、平面度和水平度，校准仪器设备安装时的水平和铅垂位置[1]，在桥梁架设、铁路轨道铺架、石油钻井平台安装、航空航海、机械加工等领域发挥着重要作用。

常见的倾角传感器按照检测原理方式的不同可以分为电感式、电容式、光纤式、MEMS 倾角传感器[2]。 电感式倾角传感器需要很高的输入能量，电路复杂，无法满足低功耗需求；光纤式倾角传感器基于光纤光栅原理，通过测量两根布拉格光纤在摆体倾斜时光程差的变化来测量倾角，虽然灵敏度较高，但需要光波长解调装置，体积较大，价格昂贵；MEMS 倾角传感器虽然体积小，功耗低，但其受限于体积和检测技术，仅适用于分辨力要求不高的场合；传统的电容式倾角传感器多使用直径小于0.05 mm的石英悬丝或者厚度不大于0.1 mm 的薄片簧连接摆体和外壳框架，自身稳定性差且容易受到外界干扰产生双摆效应[3]。

近年来，柔性铰链因具有无摩擦、无间隙、无磨损、容易控制等优点，广泛应用于精密测量、运动控制等领域[4-7]。 本文使用结构稳定、灵敏度高的柔性铰链代替稳定性差的石英悬丝和薄片簧连接摆体和外壳框架，设计了一种基于柔性铰链连接的差动电容式倾角传感器，兼具高稳定性、高分辨力和高线性度的优点。 通过分析差动电容式倾角传感器测量原理评定了电容量和极板夹角的线性关系，推导了柔性铰链结构参数对测量轴倾角和传感器极板夹角之间传递灵敏系数的影响模型，提出在电容检测能力受限的情况下可以通过改变结构参数获得不同分辨力和量程的倾角传感器。 最后根据选择的结构参数制作了倾角传感器并结合数字电容转换电路进行了验证，实验结果表明，设计的倾角传感器在量程范围内具有较高的精度和线性度。

1 测量原理

固体摆倾角测量原理[8]如图1 所示。

图1 固体摆测倾角原理

当测量平面存在倾角α 时，连接质量块与外壳框架的弹性元件在质量块重力作用下发生变形，质量块作为电容动极板与定极板之间的夹角为θ，极板夹角θ与测量轴倾角α的关系为:

式中:k定义为灵敏系数，由弹性元件和质量块的结构参数决定，理想的弹性元件的刚度无限小，θ无限接近于α，系数k可视为1，但考虑到结构稳定性和材料的限制，弹性元件存在一定刚度，在电容检测能力一定，即极板夹角分辨力一定的情况下，通过改变弹性元件和质量块的结构参数可以获得不同的测量轴倾角分辨力，检测极板间的电容量并结合传递系数即可得到测量轴的倾角。

2 差动电容倾角传感器

电子水平仪的核心是倾角传感器，本文设计的差动电容式倾角测量结构示意图如图2 所示。

图2 差动电容式倾角传感器

当传感器所在的平面存在倾斜角度时，以仪器外壳框架为参考，中间摆体相当于动极板，与两侧的固定极板构成差动电容传感器。

根据变极距式差动电容传感器的测量原理，极板之间要保持平行，但实际上作为中间极板的摆体围绕旋转中心转动，并非始终与两侧定极板保持平行，

本文采用圆形极板构成电容传感器，对于非平行的圆形极板的电容器[9-11]:

为了减少电容传感器的非线性，通常采用差动式结构。 采用差动式结构的非平行圆形极板电容器的电容与夹角的关系分别为:

根据电容的关系式无法判定电容值与极板倾角是否呈线性变化，本文设计的电容极板半径14 mm，电容极板到旋转中心的距离是15 mm，极板初始间距为 0. 85 mm， 极板夹角的变化范围为[-5×10-3rad，5×10-3rad]，使用MATLAB 绘制差动电容量ΔC和极板夹角θ的图形，如图3 所示，并进行线性度评价:

图3 差动电容量与极板夹角关系

在夹角变化范围内进行一次拟合，其确定系数高达99.99%，具有极高的线性。 结合后文的电容检测电路能稳定测量的电容最小量为1.25×10-4pF，则本测量系统对电容极板夹角的最小分辨力为2.2×10-7rad(约0.045″)。

3 弹性元件柔度计算

弹性元件在系统中不仅是连接部件，同时也是变形部件，一端是固定端，与仪器的外壳相连，一端是自由端，连接质量块。 弹性元件通过自身变形将待测量转化为位移或者角度输出。 由差动电容式倾角传感器的原理可知，在测量过程中要保持极板正对面积不变，极板夹角θ与柔性部件在重力矩作用下的偏转角度αy相等:

本文采用的椭圆柔性铰链结构截面如图4所示。

图4 椭圆柔性铰链

以原点为圆心，分别以椭圆的长轴a和短轴b为直径作两个辅助圆，如图所示，t是最薄处厚度；参数φ在区间[-π/2，π/2]内的取值与椭圆上的点一一对应，对椭圆上任一点P，其坐标为:

以上表达式较为复杂，不便于直观研究柔性铰链柔度随结构参数变化的变化规律，因此需要对积分变量I进行数据拟合，获得较为简洁的表达式。

在式(11)中变量s＝，b是椭圆短半轴长度，t是柔性铰链最薄处厚度，考虑到空间尺寸要求和柔性铰链柔度要求，取值范围为1 mm≤b≤10 mm，0.1 mm≤t≤1 mm，对应的s取值范围为[1，100]。使用非线性拟合的方法进行数据拟合得到近似计算公式。 对于非线性拟合结果，通过残差平方和(SSE)、确定系数(R-square)、残差分布图和均方根误差(RMSE)进行评价，残差、SSE、RMSE 越小，R-square越接近1，则说明数据拟合程度越好，分别对I1进行二次多项式拟合、三次多项式拟合、指数拟合和幂函数拟合，拟合结果的评价如表1 所示。

表1 函数拟合评价参数表

由上表可以得出，幂函数获得的结果相较其他方法来说拟合程度最好，其最大残差小于0.02，采用幂函数拟合得到的结果为:

为方便计算，取拟合系数m＝1.16，n＝-0.5，得到修正后的拟合公式:

对修正后的拟合公式与原表达式进行残差运算，求得的残差分布均小于0.05，相对误差为0.8%，验证了拟合公式的准确性。

求解其对应的相对误差均在1%以内，可以使用拟合后的简略表达式进行计算:

对称分布的连接结构能有效提高机械结构的稳定性，因此选择对称分布的柔性部件连接质量块与外框架，单个椭圆柔性结构的参数为:长半轴a，短半轴长度b，宽度w，最薄处厚度为t，得到对称柔性元件的整体柔度:

将式(15)代入式(7)即可得到采用对称柔性连接结构的灵敏系数。

4 结构参数选择与加工

柔性铰链常用的材料有铝合金、不锈钢、铍青铜等，通过对比其弹性模量、密度、热膨胀系数等参数，铍青铜材料[15]制成的弹性元件传递系数较高，具有高强度、高弹性、耐腐蚀、耐疲劳、无磁性、弹性滞后小、稳定性好、导电性好、承受冷热压力加工能力较强等优点，广泛应用于航空航天、电子、军工等领域。

为了保证加工精度，选择加工精度±0.003 μm，表面光洁度Ra 0.05 的慢走丝工艺加工弹性元件，为了保证连接强度，最薄处厚度取0.3 mm，摆体材料选择黄铜，尺寸为5 cm×4 cm×1 cm，选择几组结构参数，结合式(7)和式(15)计算其灵敏度，结果如表2所示。

表2 不同结构参数下的灵敏系数

综合考虑小型化以及灵敏度，4 号的结构较为合理，选定结构参数t＝0.3 mm，a＝15 mm，b＝4.2 mm，w＝1 mm，此时k＝0.345 5。

5 电容检测

传统的电容检测方法[16]有调频法、调幅法、运算放大式测量法、差动脉宽调宽法等，都可以获得较高的测量精度，但这些方法的电路或者过于复杂，分立元件多，体积大，或者对电源有极高的要求，不适用于测量仪器的小型化。

本文设计的测量系统中，中间极板通过金属连接部件，相当于接地，电容极板采用了三同轴设计，芯极、等位环、屏蔽层同轴，如图5 所示。

图5 固定电容极板截面示意图

电容检测系统需要测量的是芯极与动极板的电容(即对地电容)。 AD7747 是ADI 公司推出的针对一块极板接地的单端或差分电容传感器测量的电容数字转换芯片，可以通过单端3.3 V 或5 V 供电，工作时的最大电流为1 mA，待机模式下电流仅为1 μA，片内集成有24 位采样的Σ-Δ 型电容数字转换器，还内置一个分辨力为0.1 ℃、精度为±2 ℃的温度传感器。 将检测的电容量转换为数字量后经过可调片内数字滤波器即可获得不同的转换精度。AD7747 的SHLD 引脚提供有源交流屏蔽，将SHLD引脚连接等位环，电容输入引脚连接芯极，可有效降低电容极板间的边缘效应。 AD7747 可以通过双线式I2C 串行接口传输数据，测量数据为连接到CIN+和CIN-两引脚的对地电容的差分结果:

将AD7747 的测量电路安置在恒温恒湿的温控箱内进行稳定性测试，在恒温22 ℃的环境下24 位的电容数字转换芯片可以稳定到17 位，即测量电路的最小分辨力为1.25×10-4pF。

6 性能测试

如图6 所示，将设计的倾角传感器固定在长600 mm 的钢板上，钢板一端固定一带有自锁功能的螺旋千分尺，另一端为固定支点，通过调节千分尺即可获得不同的倾角平台，使用分辨力为0.01″的激光干涉仪读取倾角数据并通过电容采集电路获取电容值，结果如表3 所示。

图6 实验示意图

表3 实验数据

理论上当平面水平，即倾角为0 时，电容输出量也是零值，但由于装配误差的存在导致了零位误差，该误差可以在后续标定时进行校正。

为了在零点处取得更高的测量准确度，取±100″内的数据进行线性拟合，结果如图7 所示，再将拟合后的结果作为理论值扩展到±1 000″内进行线性度和误差分析:

图7 倾角与电容关系

线性拟合结果为:

使用线性拟合结果进行全量程线性度评价，其线性度优于0.17%，最小二乘拟合决定系数大于0.999 9，表明本文设计的系统在±1 000″的测量范围内具有极高的线性度，自变量与因变量完全线性相关，由电路可稳定识别的最小电容量进行分辨力估算，全量程分辨力优于0.14″(0.000 68 mm/m)。

结合式(1)，电路可识别的极板夹角分辨力为2.2×10-7rad，极板夹角和平面倾角的传递系数k＝0.345 5，理论上平面倾角的分辨力为0.000 637 mm/m，而测试中的实际分辨力为0.000 68 mm/m，相对误差为6.8%，验证了本系统设计思路的合理性。

使用式(18)计算倾角值，计算结果与真实值的误差如图8 所示。

图8 ±1 000″的测量误差

根据结果可知，在±100″的测量范围内，测量误差小于±0.4″；在±1 000″的测量范围内，测量误差小于±2″，且具有一定随机性，可以通过改善制作工艺和提高实验操作水平来减小误差。

7 结论

本文将倾角传感器中连接元件的刚度考虑在内，建立了传递模型，设计了基于柔性铰链的新型摆体结构并结合低功耗高精度的电容采集电路进行实验验证，结果表明系统在±1 000″的量程内分辨力优于0.14″，测量误差小于±2″，线性度优于0.17%。 设计的系统线性度良好，精度较高，在电容检测能力一定的情况下通过选用不同结构参数的柔性结构可以获得不同分辨力和量程的倾角传感器。