黄秀旺

有些数学问题，如果从局部入手，难以求解，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则能出奇制胜。整体思想方法在七年级数学上册的有理数的运算、代数式的化简与求值、解一元一次方程、线段及角的计算、解立体图形等方面都有广泛的应用。

一、整体换元再计算

例1 计算：1[-12][+14][-18][+116][-132][+164]

[-1128][+1256]。

【解析】如果按常规方法计算，运算量很大。我们仔细观察后可以发现，从左到右，符号依次为+、-、+、-、+、-、+、-、+，且后一个数的绝对值是前一个数的[12]，故可将算式当成一个整体来思考。

解：设1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128]

[+1256]= x，①

则①×[12]，得

[12][-14][+18][-116][+132][-164][+1128][-1256][+1512]=[12]x，②

①+②，得1+[1512]=[32]x，

解得x=[171256]。

故1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128][+1256]=[171256] 。

例2 计算：（1+[111]+[113]+[117]）×（[111]+[113]+[117]+[119]）-（1+[111]+[113]+[117]+[119]）×（[111]+[113]+[117]）

【解析】先观察算式，发现算式中涉及多个分数，如果直接计算，显然比较烦琐。我们再仔细观察，发现[111]+[113]+[117]或[111]+[113]+[117]+[119]多次出现，故可把它们中的一个或分别把它们当成一个整体来思考。

解：令a=[111]+[113]+[117]，

b=[111]+[113]+[117]+[119]，

则原式=b（1+a）-a（1+b）=b-a=[119]。

二、整体代入求值

例3 若m2+2m=1，则4m2+8m-3的值是 。

【解析】把代数式4m2+8m-3变形为4（m2+2m）-3，再把m2+2m=1代入计算，可得4m2+8m-3=4（m2+2m）-3=4×1-3=1。

例4 已知y=ax5+bx3+cx-5。当x=-3时，y=7，那么，当x=3时，y= 。

【解析】把x=-3代入y=ax5+bx3+cx-5，

得-（35a+33b+3c）=12。我们把35a+33b+3c看成一个整体。当x=3时，ax5+bx3+cx-5=35a+33b+3c-5=-12-5=-17。

三、整体变形解方程

例5 解下列方程：

（1）4（x-1）=1-x;

（2）[2（x+1）3]=[5（x+1）6]-1。

【解析】（1）可以把（x-1）当成一个整体进行变形;

（2）可以把（x+1）当成一个整体进行变形。

解：（1）由4（x-1）=1-x，得4（x-1）=-（x

-1），

移项，得4（x-1）+（x-1）=0，

合并同类项，得5（x-1）=0，

系数化为1，得x-1=0，

所以x=1。

（2）去分母，得4（x+1）=5（x+1）-6，

移项，得4（x+1）-5（x+1）=-6，

合并同类项，得-（x+1）=-6，

系数化为1，得x+1=6，

所以x=5。

四、整体处理线段及角的计算

例6 （1）如图1，已知点C在线段AB上，AC=8cm，BC=6cm，M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度;

（2）如图1，如果线段AB=14cm，M、N分别是AC、BC的中点，可以求此时线段MN的长度吗？如果线段AB=acm呢？

【解析】（1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，求出CM、CN的长度，则MN=CM+CN;

（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，则CM=[12]AC，CN=[12]BC，所以MN=CM+CN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

解：（1）∵AC=8cm，点M是AC的中点，

∴CM=[12]AC=4cm。

∵BC=6cm，点N是BC的中点，

∴CN=[12]BC=3cm。

∴MN=CM+CN=7cm，

∴线段MN的长度为7cm。

（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，

∴CM=[12]AC，CN=[12]BC，

∴MN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

当AB=14cm时，MN=7cm。

当AB=acm时，MN=[12]acm。

例7 如图2，OB平分∠AOC，OD平分∠EOC。已知∠BOD=α，求∠AOE的大小。

【解析】根据角平分线的意义，得

∠BOC=[12]∠AOC，∠COD=[12]∠EOC，

根據∠BOD=∠BOC+∠COD=[12]∠AOC+[12]∠EOC=[12]∠AOE，即可求出∠AOE的大小。

解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，

∴∠AOB=∠BOC=[12]∠AOC，

∠COD=∠DOE=[12]∠EOC，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD

=[12]∠AOC+[12]∠EOC

=[12]（∠AOC+∠EOC）

=[12]∠AOE。

∵∠BOD=α，

∴∠AOE=2α。

五、整体处理几何体的表面积

例8 李强用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图3所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为 。

【解析】本题要计算几何体的表面积，解决的关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积。如果按一般思路处理较为困难，我们不妨整体考虑。三层中，面朝上的三部分整体就是一个边长为3的正方形，其面积为9;而其他4面，分别含6个边长为1的正方形。故红色部分的面积为9+4×6=33。

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）