王宪成

生活中，我们有时凭借已有经验做出的判断并不一定正确。比如，某位运动员在历次体育比赛中一直名列前茅，小明就说，这位运动员在接下来的体育比赛中一定能拿金牌。显然，这样的判断只是预测，没有经过证实，结论不一定成立。再比如，我们在装有一定量水的杯子里斜插一根筷子，发现杯子里的筷子被“折断”了，而事实上，筷子并没有断。所以，有时眼见也不一定为实。这些都能让我们感受到证明的重要性。

通过数学学习，我们知道了许多数学知识，也经历了观察、实验、归纳、类比等活动，用“合情推理”的方式探索了许多结论，如圆的面积公式，三角形内角和等于180°，周长一定的长方形当长等于宽的时候面积最大，等等。但这些结论一定正确吗？如何说明这些结论的正确性呢？看来证明在学习数学的过程中也是必不可少的。

一、关于“证明”的几个概念

人们在说理的时候，常常使用一些名称或术语。对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们下定义。如“能使方程两边的值相等的未知数的值”就是“方程的解”的定义。我们还常常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断一件事情的句子叫作命题。如“等角的余角相等”，这就是作出一个判断，是一个命题。正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题。

在前面的学习过程中，我们曾把一些真命题作为基本事实。从基本事实、确定的规则等出发证实某个命题真實性的过程就叫作证明。经过证明的真命题叫作定理。由一个定理直接推出的正确结论叫作这个定理的推论。如“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”是三角形内角和定理的推论。

二、“证明”的途径、方法

观察、操作、实验往往是我们研究问题的重要手段。通过观察、操作、实验，我们会发现一些结论，但所得的结论一定正确吗？答案是不一定。因此，我们要对结论加以证明。证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果以及由因得果的依据。其中，“因”是已知事项的条件;“果”是推得的结论;“由因得果的依据”是基本事实、定义、已经学过的定理以及等式的性质、不等式的性质等。下面，我们看几道具体题目。

问题1 在图1中，两条线段AB与CD，哪一条长一些？

看上去，线段AB似乎比线段CD长。但这个观察结果正确吗？怎么证明其正确性呢？我们可以通过度量线段AB和线段CD的长度来证实。结果发现，线段CD比线段AB长。

问题2 任意取数值a、b，对于代数式a2+b2+2a-4b+6的值，你有什么发现？

有的同学代入了几个值，发现得到的代数式的值总是大于或等于1。但可以直接说，对于任意的a、b，代数式a2+b2+2a-4b+6的值都不小于1吗？不可以。我们要对其进行证明。怎么证明呢？我们要寻找“因”，即寻找题目中的条件。本题条件中，有代数式a2+b2+2a-4b+6，我们就试试能否由这个“因”推出“果”。因为a2+b2+2a-4b+6=a2+2a+1+b2-4b+4+1=（a+1）2+（b-2）2+1，而（a+1）2≥0，（b-2）2≥0，所以（a+1）2+（b-2）2+1≥1。这样就证明了结论。

问题3 如图2，AC、BD相交于点O。求证：∠A+∠B=∠C+∠D。

本题中，由∠A、∠B、∠C、∠D所在的三角形，自然想到“三角形内角和定理”，即在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°;在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°。所以∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD。∠AOB与∠COD又有什么关系呢？此时，同学们是不是会证明∠A+∠B=∠C+∠D了？

请同学们再想一想问题3，有没有其他方法？仔细观察图形，你有没有发现：∠A+∠B等于图中哪个角呢？∠C+∠D又等于图中哪个角呢？这两个角是同一个角吗？你能写出完整的证明过程吗？请同学们自己试一试，也可以与老师或同学进行交流。

（作者单位：江苏省苏州工业园区青剑湖学校）