倪钰皓

在学习反比例函数时，我发现，由反比例函數[y]=[kx]（k为常数，且k≠0）图像上的任一点作横、纵轴垂线，与两个坐标轴围成的矩形的面积是个定值，等于[k]。这个矩形，我称之为这个点的“k矩形”，即[Sk矩形]=[k]。在解决一些问题时，利用“k矩形”，我得到了简便的解法。

例题 如图1，双曲线[y]=[kx]（其中k>0，x>0）经过矩形OABC的边AB上的中点F，交边BC于点E，求证：E点是BC的中点。

证法一：

设点F（a，b）。

∵点F在反比例函数[y]=[kx]上，

∴ab=k。

∵点F是AB的中点，

∴B（a，2b），

∴BC=a。

∵点E在BC上，

∴E点的纵坐标=B点的纵坐标=2b。

∵点E在反比例函数[y]=[kx]上，

∴E点的横坐标×E点的纵坐标=ab，

∴点E的横坐标=[a2]，

∴CE=[a2]=[12BC]，

∴E点是BC的中点。

证法二：

如图2，连接OE、OB、OF。

∵点E、F都在反比例函数[y]=[kx]上，

∴S△OAF=S△OCE。

又∵点F是AB的中点，

∴[S△OAF=12S△OAB]。

∵在矩形OABC中，

∴S[△OAB]=S[△OCB]，

∴S[△OCE]=[12S△OCB]，

∴E点是BC的中点。

证法一是通过设点的坐标，利用反比例函数上点的坐标特征及矩形的特征，转化已知点和未知点的坐标，进而得到线段长度证得中点，我们可以称这种方法为解析法;证法二是利用反比例函数k的几何含义及矩形的图形特征，得到图形面积之间的关系，用面积法证得中点，我们可以称这种方法为几何法。两种证法各有特点，此处，显然几何法优于解析法。而本题还可以得出更一般的结论，即将“F是AB的中点”改为“F在AB上，且[AFAB]=[n]”，则可得[CECB]=[n]。

变式 如图3，双曲线[y]=[kx]（其中k>0，x>0）经过矩形OABC对角线的交点M，交AB于点F，交BC于点E，四边形OFBE的面积为9，则k=            。

同学们可以仿照例题，运用反比例函数k的几何含义来解一解变式，相信你能得到有用的解题经验。

教师点评

小作者在学习过程中，能够主动思考，善于总结归纳，有较强的探究能力;面对问题时，能够给出多种证法并分析其优劣，择优而做。同时，对相关的变式问题，小作者还能达到举一反三、触类旁通的效果，值得大家学习。

（指导教师：陈雪霞）