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逆向生成,落笔有据

2022-06-01曹海燕

初中生世界·九年级 2022年8期
关键词:切点作图圆心

曹海燕

在初中阶段,同学们共学习了五种基本的尺规作图。我们除了要掌握作图的步骤,还要知道这些步骤背后的依据,做到知法明理。事实上,我们在解决尺规作图题的过程中,更需要多观察,多推理,多假想。

一、感知尺规作图的步骤

例1 (2021·江苏泰州)(1)如图1,O为AB的中点,直线l1、l2分别经过点O、B,且l1∥l2,以点O为圆心,OA长为半径画弧,交直线l2于点C,连接AC。求证:直线l1垂直平分AC。

(2)如图2,平面内直线l1∥l2∥l3∥l4,且相邻两直线间距离相等,点P、Q分别在直线l1、l4上,连接PQ。用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D,使线段PD最短。(两种工具分别只限使用一次,并保留作图痕迹。)

【解法突破】(1)连接OC,根据作图步骤,可知OC=OA,则△AOC是等腰三角形,要证直线l1垂直平分AC,只需证l1⊥AC或l1平分∠AOC即可。

(2)在直线l4上求作一点D,使线段PD最短,即求作PD⊥l4。根据(1)的结论,我们以点T为圆心,PT长为半径画弧,交直线l3于点E,此时PE⊥l2,则PE的延长线与l4的交点D即为所求,如图3。

【反思提升】本题如果没有第(1)题作为铺垫,我们运用常规的数学思维来解决第(2)题的尺规作图问题便容易陷入困境。因此,解尺规作图题时,我们要学会逆向思维,尝试打破常规。

二、掌握尺规作图的方法

例2 (2021·江苏南京)如图4,已知P是⊙O外一点,用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线。

要求:(1)用直尺和圆规作图;

(2)保留作图的痕迹,写出必要的文字说明。

【解法突破】在解本题时我们遇到的最大困难是如何确定切点的位置。此时我们不妨先假设点D是切点,则点D满足两个条件:(1)点D在⊙O上;(2)OD⊥DP。

方法一:当OD⊥DP时,∠ODP=90°。连接OP,由OP是∠ODP的对边,我们能推断出点D在以OP为直径的圆上,再结合条件(1),就能很快确定点D的位置,作出图5。

方法二:假设PD是⊙O的切线,则△POD是直角三角形且∠PDO=90°。延长PO交⊙O于点D?,过D?作OD?的垂线l。以O为圆心,OP为半径作弧,与l交于点P?,则△P?OD?≌△POD,得P?D?=PD。所以,如图6,以P为圆心,P?D?为半径作弧,与⊙O交于点D,则PD即为所求。

【方法小结】解决本题的方法很多,在实际作图的过程中同学们也会发现切点D的位置不唯一。通过解这道题,我们得到经验:在解尺规作图题时,通常以基本作图为基础,逆向思考,先尝试构造符合题意的“效果图”,再结合条件进行几何推理,确定作图方法,进而画出正确的目标图形。

(作者单位:江苏省海安市城南實验中学)C5BBB0AC-E93A-4337-8604-5BEA963A4FF7

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