李晓庆

向量法是解答立体几何问题的重要方法.运用向量法解题，往往需根据空间几何图形的特点，找到三条相互垂直且交于一点的直线，建立空间直角坐标系，然后用向量的坐标形式表示问题中的点、线段、平面，再通过向量的坐标运算求得问题的答案.向量法可用于判断空间线面的位置关系、求二面角的大小、求线面角的大小、求空间距离.下面结合实例，探讨一下如何运用向量法解答立体几何问题.

一、判断空间线面的位置关系

空間线面的位置关系主要有垂直、平行、相交、直线在平面内等.运用向量法判断空间线面的位置关系，需在建立空间直角坐标系后，分别求得相关点的坐标、直线的方向向量以及平面的法向量.设直线的方向向量为，平面的法向量为，当∥，即=λ时，直线与该平面垂直;当⊥时，直线与该平面平行或直线在平面内;若与既不平行也不垂直，则直线与平面相交.

例1.如图1，在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动，试判断平面 PA1C 与平面 AB1D1的位置关系.

解答本题，需先根据正方体的特点建立空间直角坐标系，然后求得各个点的坐标、各条线段的方向向量，再根据直线与平面垂直的判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的任意两条直线，则这条直线垂直与这个平面.设出法向量 n，使其与 AB1、 AD1垂直，建立关系式即可求得法向量 n，证明 CA1//n，最后根据面面垂直的判定定理证明面 PA1C ⊥平面 AB1D1.在运用向量法判断空间线面的位置关系时，一定要明确：（1）若……