刘新亮 林开亮

近日热播的电视连续剧《天才基本法》极大地激發了青少年观众学习数学的热情，剧情中特别提到著名的费马大定理。费马大定理是数学史上光辉灿烂的一页，让我们一起来详细了解一下这个定理吧！

“业余数学家之王”：费马

一般认为，现代数论的创始人是费马（1601—1665年）。他是法国数学家，但其主业是律师，数学是他的业余爱好。由于他在数学的许多分支如数论、微积分、解析几何、概率都有根本性贡献，被后人冠冕为“业余数学家之王”。

事实上，在17世纪初，数学这一学科刚刚从欧洲长达千年的中世纪黑暗时代中苏醒过来，并不受重视。当时，整个欧洲国家只有牛津大学设有专门的数学教授职位（始于1619年），所以17世纪的数学家大多数是业余的。而费马，正是其中最出类拔萃的一个。

费马大定理的诞生

费马数论研究工作的源泉，来自古希腊数学家丢番图（大约生活在200—284年）的一部著作——《算术》。这部书共有13卷，但只有6卷留存于世。

1621年，法国数学家贝切特（1581—1638年）将《算术》译成了拉丁文。除此之外，贝切特还编辑了一本数学趣味谜题集，收入许多著名的谜题，其中之一是砝码问题：“最少需要多少个砝码，可以在天平上称出1克到40克之间任何整数克的重量？”

丢番图的《算术》其实是一本问题集。其中有100多个问题，丢番图对每个问题都给出了详尽的解答。但费马感兴趣的是跳出原题、触类旁通，去思考和解决一些相关的、更加微妙的问题。

勾股定理示意图

正如费马所说，在这个“想前人之未曾想”的过程中，他“发现了许多极优美的定理”。著名的费马大定理，就是这样诞生的。

费马大定理到底讲了什么？

在《算术》第2卷中，丢番图讨论了勾股数，也就是方程x2+y2=z2的正整数解。例如：（x，y，z）=（3，4，5）就是最简单的一组勾股数，即我们常说的“勾三股四弦五”。

费马读到丢番图的这一段讨论时，突发奇想，如果将该方程中的指数2替换成3会如何呢？费马发现，此时的方程x3+y3=z3不再有正整数解。更进一步，他将方程中的指数3替换成任意一个更大的整数n，得到方程xn+yn=zn。

费马得出以下一般结论：当n大于2时，方程xn+yn=zn没有正整数解。

他在《算术》这一段的空白处写道：“对此命题，我有一绝妙证明，可惜此处空白太小，无法写下。”这一行简短的评注，引起了后世许多数学家的强烈兴趣。但谁也不知道费马所写的“绝妙证明”究竟是怎样的。费马本人在1640年给出了n=4时的证明，而n=3时的证明是瑞士数学家欧拉（1707—1783年）在100多年后（1758—1770年间）才给出的。

为什么350年后才有定论？

那么，当n等于其他正整数时呢？此后，历史上著名的数学家几乎都参与了对这一命题的证明，但在长达350多年的时间里始终悬而未决。

直到1995年，费马的上述论断才被英国数学家怀尔斯（1953—）证明。但怀尔斯精彩绝伦的证明，绝非费马当时所能理解的那类证明。因为怀尔斯用到了近代数论最前沿的思想、语言和技术，经过8年、用130页的篇幅才证明了费马大定理。

证明费马大定理，是怀尔斯儿时的梦想。如他所说：“对每个人而言，实现童年的梦想，富有奇妙的魔力。只有极少数人能够美梦成真，而我就是其中一个幸运儿。”

也许有人会问，这么多数学家花费大量时间证明一个命题，意义是什么呢？其实他们证明费马大定理的过程，是不断开拓数学新领域的过程。例如，欧拉证明费马大定理n=3时，发明了虚数，扩展了数域，之后虚数在信息学等多个领域发挥重要作用。

费马在空白处写下那段话时，未必知道自己的研究有什么用，但是后世的研究者已经将其发挥出更大的效用。因此，时至今日，费马大定理穿越将近400年的时间，依然有其独特的魅力！