[摘  要] 从建构主义学习理论的视角来看，错误是学生数学学习的最为重要的课程资源。在数学教学中，教师要以“错误”为切入点、探究点、生长点和促进点，激发学生兴趣、激活学生思维、激励学生探究、引导学生反思。如果教师能善待学生的错误、妙用学生的错误，引导学生直面错误、反思错误，就能让学生的错误有价值。有效运用错误，能让错误成为学生通往自我数学知识建构之途的阶梯。

[关键词] 错误资源;有效应用;数学教学

学生在数学学习中会产生各种类型的错误，诸如经验性错误、认知性错误以及行为性错误等。这些错误，从建构主义学习理论的视角来看，都是学生数学学习的重要资源。在数学教学中，教师要引导学生面对错误、分析错误、应用错误，以错误作为学生数学学习的切入点、探究点、生长点和促进点。借助学生的错误，转变学生的数学学习行为，激活学生的创新思维。在小学数学教学中，教师更要让错误成为学生通往自我数学知识建构之途的阶梯。

一、以“错误”为切入点，激发学生兴趣

“错误”是“正确”的先导，以错误作为师生教与学的切入点，能有效地激发学生的学习兴趣。在数学教学中，教师要有意识地暴露学生的错误，呈现学生的错误，把脉学生的错误思想的运行痕迹，摸清学生错误的源头，进而对学生的错误做出理性判断，对症下药，找到避免学生再犯错的好办法。有时候，教师还可以“将错就错”，引导学生识错、悟错，通过小组讨论等自主发现问题、分析问题和解决问题。

比如教学“平行四边形的面积”，很多学生根据头脑中长方形面积公式的负迁移经验，错误地认为平行四边形的面积等于底乘斜边。对于学生这样的认知错误，笔者没有批评、斥责学生，而是以学生的错误为教学起点，引导学生推拉平行四边形。在推拉的过程中，教师引导学生观察平行四边形和长方形的异同。学生惊奇地发现，将长方形推拉成平行四边形，其周长没有发生变化，但面积越来越小，最后越来越接近0。这样的直观化、动态化的实际操作，让学生能自主性地反思错误，形成新的猜想：是否可以将平行四边形剪拼成长方形，因为在剪拼的过程中周长变化了，而面积没有发生变化。据此，学生根据等积变形的原理，认为平行四边形的面积等于底乘高。在数学教学中，正如心理学家恩布里奇所说：“差错人皆有之，只有将大量错误经验作为台阶，才能攀登上正确结果的宝座。”

在数学教学中，教师要善于发现学生的错误，科学、合理、合情地运用学生的错误，做到“吹尽黄沙始到金”。要通过设计、研发相关的活动，引导学生分析错误的成因、内容、形式、层次等，从而让学生能反思所犯的错误、批判所犯的错误，进而修正所犯的错误。

二、以“错误”为探究点，激活学生思维

著名的物理学家爱因斯坦认为，“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要”。在数学教学中，如果学生的数学学习发生了错误，教师就要及时赋予学生独立思考、探究的时空，让学生以错误作为探究点、思维点等，并据此展开深度学习。错误，从根本上来说就是学生的认知偏差。作为教师，要主动地帮助学生、协助学生认识自我的认知偏差、经验迷思、相异构想等;要引导学生将错误作为一种宝贵的、优质的资源;要引导学生在错误中自主性、自能性地建构。

比如教学“圆锥的体积”，笔者给学生提供了等底等高、等底不等高、不等底不等高等多种类型的空心圆柱和圆锥，引导学生进行自主性的实验。在实验过程中，学生选择学校跳远沙坑中的沙子进行数学实验，但实验结果却明显不一致。有学生将圆锥装“满“沙子倒入圆柱，两杯多一点就倒满了;有学生将圆锥装“满”沙子，倒了三杯还多一些才装满了圆柱。为此，笔者引导学生反思实验过程。通过反思，学生找到了自己实验过程中存在的种种问题，如选用的素材问题，沙子之间空隙比较大，因而造成了实验的误差;如每一次装沙子装得满浅不一，因而造成了实验结果的差异;如选择的圆柱和圆锥不是等底等高的，等等。以学生错误作为探究点，引导学生反思错误、改正错误，就能为学生的数学知识建构铺就成功之路。在这之后，学生改“沙子”为“水”，让圆锥和圆柱能真正倒满，从而让数学实验走向了精准，自主建构了数学知识。

以“错误”作为学生数学学习的探究点，让学生的数学实践更富有针对性、实效性。而对错误的反思则让学生认识到错误可以利用，可以生发出更为科学、精准、有效的探究思路、方向和路径等。在发现错误之后，教师要引导学生快速地分析错误的价值，将错误转化为培养数学思维的有利资源。

三、以“错误”为生长点，激励学生探究

学生的数学学习力的提升、数学核心素养的发展是数学教学的根本性追求。在小学数学教学中，教师可以“错误”为学生数学学习的新的生长点，鼓励、激励学生不断探究。教师要发掘学生在犯错过程中的闪光点，发掘学生错误中的一些积极性的成分，发掘学生错误中的创新因素等，从而给予学生适度、适当、适时的点拨、鼓励，让学生从多个角度、多个方向去审视自我。对于错误的因势利导，能让学生的数学学习充满活力。

比如教学“正比例的意义”这一部分内容时，笔者出示了这样的一道题：圆的半径和圆的面积成正比例吗？许多学生由于对正比例的意义仅仅停留在感性认识上，认为一种量扩大，另一种也随着扩大，那这样的两种量就成正比例。从学生的这一错误认知出发，笔者用表格将抽象的数量关系表征出来，由此导引学生发现这两种量尽管是相关联的量，同时一种量扩大（缩小），另一种量也随着扩大（缩小），但由于两种量相对应的两个数的比值不一定，所以这两种量不成正比例。在此基础上，笔者又出示了这样的一道题：当直径一定时，圆的周长和圆周率成正比例吗？由于刚才的错误，学生在判断两个量是否成正比例、成什么比例时，注意到了要对两种量之间的等量关系进行变形，所以学生再次掉入陷阱而产生了错误。为此，笔者再次引导学生列表假设数据并整理，从而不断地以学生的错误为学生的认知、探究的生长点。通过纠错，让学生掌握了判断两个数量是否成比例、成什么比例的最为原始的方法。在纠错的过程中，笔者淡化了对两种量数量关系的机械分析，从而让学生建立了对成正比例的量的深刻认识。

德国文学家歌德曾经说，“错误与真理的关系，就像睡梦同清醒的关系一样。一个人从错误中醒来，就会以新的力量走向真理”。美国著名教育心理学家桑代克认为，学习的过程就是一个渐进的尝试错误的过程。面对学生的错误，教师应当引导学生进行比较、识别，从而让学生自我审视、纠错。以错误作为生长点，能助推学生数学学习的深度探究。

四、以“错误”为促进点，引导学生反思

学生在学习中产生错误是自然的，也是能够理解的。面对错误，教师应当以“错误”为促进点，引导学生反思。如果我们能引导学生反思错误，认识到错误的根源，就能让学生找到化解错误的方法、路径、策略等。引导学生通过反思错误提升自我的数学认知判断力、实践力是数学教学的更高追求。

例如在教学“认识公顷”这一部分内容时，笔者发现许多学生对“公顷与平方米”“公顷与平方千米”之间的进率的认识比较模糊，通常都是機械识记。为了深化学生的认知，笔者引导学生反思这种情况。有学生说，他不理解为什么其他相邻两个面积单位之间的进率都是100，而平方米和公顷之间的进率却是10000;有学生说，公顷是一个大单位，平方千米也是一个大单位，两个单位的大小容易混淆，等等。为此，笔者引导学生进行反思，梳理长度单位、面积单位以及它们之间的对应关系。通过反思，学生提出了积极的猜想，诸如在公顷和平方米之间还有一个单位;公顷是百米的平方，那么一定还有一个十米的平方，等等。在直面问题、反思错误后，学生通过补充形成了完整的知识链条，即将公亩（十米的平方）这一概念插入公顷和平方米之间，从而完善了学生的认知，填补了学生的认知裂缝。

在数学教学中，错误是一种宝贵的资源。错误中蕴含着智慧的宝石，错误拂过的课堂更显灵动、鲜活、生动、真实。作为教师，在数学教学中应当善待学生的错误、妙用学生的错误，引导学生直面问题、反思错误，进而让学生的错误有价值。错误，能让学生的思维碰撞出智慧的火花，也能让学生的数学学习绽放光彩。

作者简介：印灵灵（1982—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学工作。