【摘 要】 本文以一道清华大学中学生标准学术能力测试题为例，从5个视角运用类比联想，用9种突破方法解答问题，进而体会在解决一些数学问题时，合理地运用“类比联想”可成为问题解决的“催化剂”.【关键词】 类比联想;数学解题;催化剂

类比联想法是指由某一事物的触发而引起和该事物在性质上或形态上相似事物的联想.在数学学习中，类比联想是一种重要的思维活动，它不仅能够帮助我们猜测和发现结论，而且能为我们提供解题思路和方向.这正象著名数学家欧拉所说“类比是伟大的引路人”.在数学解题教学中，以类比联想进行组织教学，不仅可以复习已有的知识，而且还在获得新知的过程中加深对已有知识的理解，引起联想，促进记忆，启发思维，有助于培养学生的逻辑思维能力和探索发现能力.因此，在数学解题教学中，应重视类比联想的教学，让类比联想成为数学解题的催化剂.本文以清华大学中学生标准学术能力（THUSSAT） 2021年11月新高考诊断性测试第8题的解法为例来说明类比联想在数学解题中的“催化剂”作用.

1 试题呈现

已知x，y满足x2+y2=4y-3，则3x+yx2+y2的最大值为（  ）.

A.1  B.2  C.3   D.5

2 试题简析

该题看似无从着手，难以找到解答的思路和方向，但若仔细分析已知条件或所求结论中式子的结构特征，类比联想有关的数学定义、公式、模型等，可帮助我们迅速找到解决问题的突破口.

3 解法探究

类比联想1 将目标式平方（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2，由结构特征类比联想“齐二次分式”Ax2+Bxy+Cy2Dx2+Exy+Fy2，分子、分母同时除以x2，转化为关于λ=yx的一元函数问题求解.

解析 设z=3x+yx2+y2，

当x=0时，z=1;

当x≠0时，则z2=（3x+y）2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2=3+23yx+yx21+yx2.

令λ=yx，则z2=3+23λ+λ21+λ2.

下面首先求λ的范围，可有几何法和判别式法两种;然后用导数法和函数单调性法两种求z2的最值.这样求λ范围的方法与求z2最值的方法两两搭配，可有下面四种突破方法.

解法1 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1，其图形是以（0，2）为圆心，1为半径的圆，而λ=yx表示圆上的点与坐标原点连线的斜率.

设过原点的直线方程为y=λx，即λx-y=0，若直线与圆相切，则|-2|λ2+1=1，解得λ=±3.故λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，構造函数f（λ）=

3+23λ+λ21+λ2=1+2+23λ1+λ2（λ≤-3或λ≥3）.

所以f′（λ）=23（1+λ2）-（2+23λ）·2λ（1+λ2）2=-23λ2-4λ+23（1+λ2）2=-2（3λ-1）（λ+3）（1+λ2）2，

当λ≤-3时，f′（λ）≤0，当λ≥3时，f′（λ）<0，所以f（λ）在（-∞，-3]和[3，+∞）上均为减函数.

又f（-3）=0，f（3）=3，且λ→-∞时，f（λ）→1，λ→+∞时，f（λ）→1，故当λ=3时，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.

解法2 联立方程，得y=λx，x2+y2=4y-3，消去y整理得（1+λ2）x2-4λx+3=0.由Δ=（-4λ）2-4（1+λ2）×3≥0，解得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法1.

解法3 由解法1，得λ≤-3或λ≥3.

由z2=3+23λ+λ21+λ2，构造函数f（λ）=3+23λ+λ21+λ2=1+211+λ2+3λ1+λ2=1+211+λ2+31λ+λ（λ≤-3或λ≥3）.

易知当λ≥3时，1+λ2和1λ+λ均单调递增，所以11+λ2和3λ1+λ2均单调递减，所以函数f（λ）在[3，+∞）上单调递减.当λ≤-3时，由于f（-3）=0，且λ→-∞时，f（λ）→1.

故当λ=3时，f（λ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.

解法4 由解法2，得λ≤-3或λ≥3.

以下同解法3.类比联想2 由已知方程的变形x2+（y-2）2=1和目标式中x2+y2的结构特征，类比联想同角三角函数的平方关系sin2θ+cos2θ=1，可以分别利用三角换元，将问题转化为三角函数问题.

首先从已知条件中的方程出发进行三角换元来突破.

解法5 由x2+y2=4y-3，得x2+（y-2）2=1.

令x=cosθ，y-2=sinθ，即x=cosθ，y=sinθ+2，θ∈[0，2π]，所以z=3x+yx2+y2=3cosθ+sinθ+2cos2θ+sinθ+22=3cosθ+sinθ+24sinθ+5，所以z2=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5.

令f（θ）=（3cosθ+sinθ+2）24sinθ+5，θ∈[0，2π]，

所以f′（θ）=2（3cosθ+sinθ+2）（-3sinθ+cosθ）（4sinθ+5）-（3cosθ+sinθ+2）2·4cosθ（4sinθ+5）2=

23cosθ+sinθ+2（-43sin2θ+4sinθcosθ-53sinθ+5cosθ-23cos2θ-2sinθcosθ-4cosθ）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2（-23sin2θ+2sinθcosθ-53sinθ+cosθ-23）（4sinθ+5）2=23cosθ+sinθ+2[-32sin2θ+5sinθ+2+cosθ2sinθ+1]（4sinθ+5）2=-23cosθ+sinθ+22sinθ+1（3sinθ-cosθ+23）（4sinθ+5）2.

因为3cosθ+sinθ+2≥0，3sinθ-cosθ+23>0，所以若2sinθ+1≥0，即sinθ≥-12，此时θ∈0，7π6∪11π6，2π，f′（θ）<0，所以f（θ）在0，7π6和11π6，2π上单调递减.

当2sinθ+1<0，即sinθ<-12，此时θ∈7π6，11π6，f′（θ）>0，所以f（θ）在7π6，11π6上单调递增;

所以当θ=7π6时，f（θ）有极小值为f7π6=0，当θ=11π6时，f（θ）有极大值为f11π6=3.

又f0=f2π=（3+2）25=7+435∈（0，3）.

故當θ=11π6时，f（θ）取得最大值3，所以z=3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.

解法5思路清晰，但运用导数，求导和整理过程运算量较大.下面再从目标式出发进行三角换元来突破.

解法6 设x2+y2=r（r>0），则令x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0，2π].

所以z=3x+yx2+y2=3rcosθ+rsinθr=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

将x=rcosθ，y=rsinθ代入已知条件中的方程x2+y2=4y-3，得（rcosθ）2+（rsinθ）2=4（rsinθ）-3，即r2-4rsinθ+3=0，所以sinθ=r2+34r=14r+3r.

由二元均值不等式，得r+3r≥23，当且仅当r=3r，即r=3时取等号，所以sinθ≥234=32.

因为θ∈[0，2π]，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，即0≤2sinθ+π3≤3.

所以z=3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.类比联想3 将目标式变形3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2，由结构特征，类比联想正弦函数的定义sinθ=yx2+y2和余弦函数的定义cosθ=xx2+y2，从而挖掘问题所隐含的三角特征，利用三角函数知识突破.

解法7 设A（x，y）为圆x2+y2=4y-3，即x2+（y-2）2=1上任一点，O是坐标原点，记∠xOA=θ，则由正弦、余弦的三角函数定义得cosθ=xx2+y2，sinθ=yx2+y2，所以3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

易知，当OA与圆x2+y2=4y-3相切时，θ分别取得最小值为π3，最大值为2π3，所以π3≤θ≤2π3，所以2π3≤θ+π3≤π，所以0≤sinθ+π3≤32，所以0≤2sinθ+π3≤3.

所以3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.类比联想4 由目标式的变形3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2的结构特征，类比联想两向量夹角的坐标公式：cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22，构造向量，利用向量的数量积运算并数形结合突破.

解法8 由3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2，设OA=（x，y），OB=（3，1），则3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2=OA·OBOA=|OA|OB|cos∠AOBOA=|OB|cos∠AOB=2cos∠AOB.

如图1，A（x，y）为圆x2+y2=4y-3上的点，当OA与圆在右侧相切时，∠AOB=π6，A32，32，

此时cos∠AOB取得最大值，所以3x+yx2+y2≤2cosπ6=3.

所以3x+yx2+y2的最大值为3.故选C.类比联想5 由目标式的变形|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2的结构特征，类比联想两点间的距离公式和点到直线的距离公式，从而挖掘问题中所隐含的几何特征，利用几何法突破.

解法9 由|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2，设A（x，y）为圆x2+y2=4y-3上的点，则x2+y2表示点A与原点O（0，0）之间的距离，|3x+y|（3）2+12表示点A到直线3x+y=0的距离.

如图2，易知直线3x+y=0与圆x2+y2=4y-3相切，过点A作直线3x+y=0的垂线，垂足为H，则|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|（3）2+12x2+y2=2·AHOA=2sin∠AOH，显然当OA在右侧与圆x2+y2=4y-3相切时，sin∠AOH最大，此时易求得∠AOH=π3，所以sin∠AOH的最大值为sinπ3=32，所以3x+yx2+y2的最大值为2×32=3.故选C.4 结语4.1 有些数学问题，貌似无从着手，难以找到解答的思路和方向，但若仔细分析已知条件或所求结论中式子的结构特征，类比联想相关的数学定义、公式、模型等，挖掘问题所蕴含的数学本质，可帮助我们迅速找到解决问题的突破口，从而快捷地解决问题.上面这道清华大学中学生标准学术能力测试题，就是从5个视角运用类比联想、9种突破方法解答的.从中我们可以体会到，在解决许多数学问题时，若能合理地运用“类比联想”，可成为问题解决的“催化剂”.

4.2 若想更好地运用类比联想解决问题，既要有一双善于观察、分析的慧眼，能够从问题的结构特征中类比联想相关知识对象和模型，又需要从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在联系，同时，平时还要注意多储存、多积累数学知识模型和解题经验.英国数学家怀特·海德说过：“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式的研究.”[1]罗增儒教授也说过：“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要题型——模式，将其有意识地记忆下来.当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决问题以此索引，在记忆存储中抽取相应的方法来解决，这就是模式识别的解题策略.”[1]如果对平时的问题善于总结、积累，那么在以后解题时，就可以迅速将新问题通过类比联想转化为已掌握的类型.如上面解答测试题的每一种方法都是建立在以前已有的解题模式、经验基础上，产生联系，运用类比联想，问题得以突破的.

参考文献

[1] 尹承利.渗透“直观想象”素养 求解函数热点问题＼[J＼].数学通讯（上半月），2019（07），41-43.

作者简介 张凤丽（1977—），女，山东泰安人，中学高级教师，现任泰安市岱岳区高中数学教研员;教学教研成绩突出，被评为“泰山教坛英才”“泰安市学科带头人”，多次获得市优秀教师、市级优质课一等奖等;主要从事高中数学教育教学等方面的研究;发表多篇论文.