钟康生

二元线性递推数列是数学高考和数学竞赛的热点问题，同时也是一个难点，本文以2019年和2020年高考题为背景，探求该类题型的通用解法，希望能抛砖引玉，与同行探讨，

该题实际上是求二元递推数列的通项，由于第（I）问为第（Ⅱ）问做了铺垫，出题者刻意降低了要求，所以难度不是很大，只要注意观察题目的己知条件即可顺利解答，可见出题者的良苦用心！作为研究，笔者关注的问题是：如果把该题的第（ I）问去掉，没有了垫脚石，怎么直接求解第（Ⅱ）问呢？该类题目是否有求{an}和{bn}的通法呢？经过到此，我们得到了两种解题通法，终于彻底弄懂了其中的窍门，利用这些通法，我们可以很方便地命制出类似的考题，难度也容易调控！下面我们学以致用，迅速求解例2.

点评该解法是从己知条件中先解出yn，然后代入到另一个表达式中，消去yn和Yn+1，得到有关xn的一个三阶递推关系，然后再用特征方程法求解出xn。最后也求得yn当然也可以先消去xn.

例3 （2020年高考江苏卷.25）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球，现从甲、乙口袋中各取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X，恰有2个黑球的概率为pn，恰有一个黑球的概率为qn，

點评该题第（2）问本质上也是二元线性递推数列，但本题可以不用单独求pn和qn，因为命题者已经为考生构造出数列{2pn+qn}了，大大降低了难度，那如果第（2）问改为直接求E（Xn）呢？我们对

二元线性递推数列的通项是高中数列的一个难点，但是当我们掌握了知识的来龙去脉，理解了其中蕴含的原理，就不会觉得那些解法那么玄乎了，通过对比，我们发现构造法比消元法更好用，解答速度更快，也更容易为学生接受，很值得推荐，当然如果能直接观察出如何构造数列，那就事半功倍了，这些方法和技巧都需要我们在解题过程中不断地总结和提炼！

参考文献

[1]左守波.“特征根”引领二元线性递推数列通项的求解[J].中学数学，2013 （4）：83-84