林龙海

(福建省福州市长乐区教师进修学校 350200)

尺规作图是初中数学几何教学中的一块重要内容,隶属于几何与图形板块,中考对尺规作图的考查常常涉及多种方式,试题往往以不同的形式呈现,但无论何种形式,了解作图的基本过程、理解作图的基本原理、掌握作图的基本技能与方法是解决问题的关键所在.

1 对尺规作图的知识应用再理解

(2021·福建)如图1,已知线段MN=a,AR⊥AK,垂足为A.

(1)求作四边形ABCD,使得点B,D分别在射线AK,AR上,且AB=BC=a,∠ABC=60°,CD∥AB；(要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)

(2)略.

图1

1.1 试题分析

本题的作图并没有明确指明使用哪一种基本作图方式,属于基本作图的应用,需要学生根据题意来选择怎样的基本作图操作来实现求解.此类试题的解决在于首先要明确几何图形的基本性质,然后根据其基本性质,使用几个基本的尺规作图进行叠加或组合完成.

1.2 解法分析

下面给出10种不同的解法,从不同角度、不同方式来重新认识一下尺规作图.

解法1作垂线得到点D

如图2,使用“作一条线段等于已知线段”,以点A为圆心,a为半径画弧,在射线AK上作AB=a,作出点B,再次使用这个基本作图,作出等边三角形ABC,再过点C作CD⊥AR，垂足为点D,得到点D.

图2

分析看到60°想到等边三角形,看到AR⊥AK想到作垂线得出CD∥AB.解法1使用2种基本作图得到答案.

解法2作菱形得到点D

如图3,同解法1得到点B和点C,再分别以点A,C为圆心,a为半径画弧,两弧交于点E,得到菱形ABCE或菱形ABEC,直线CE与AR交点即为点D.

图3

分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD∥AB,想到菱形的性质：对边平行，作菱形出平行.解法2使用5次同一种基本作图得到答案.

解法3作菱形得到点D

如图4,同解法2得到点E,再以点C为圆心,a为半径画弧,交AR于点F,得到菱形ACFE,菱形ACFE的对角线CE与AF的交点即为点D.

图4 图5

分析看到60°想到等边三角形,看到AR⊥AK为了得出CD∥AB,故利用菱形的性质:对角线互相垂直,作点D.

解法4作一个角等于已知角得到点D

如图5,同解法1得到点B和点C,在点C处利用“作一个角等于已知角”得到∠DCE=∠ABC,直线CD与AR的交点即为点D.

分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD//AB想到了平行线的性质:同位角相等,两直线平行,作同位角相等得到答案.

解法5作一个角等于已知角得到点D

如图6,同解法1得到点B和点C,在点C处再用“作一个角等于已知角”,作出∠BCE=∠ABC或∠DCB=∠CBK,直线CD与AR的交点即为点D.

图6

分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD∥AB想到了平行线的性质:内错角相等,两直线平行,作内错角相等得到答案.

解法6作线段垂直平分线，作一个角等于已知角得到点D

如图7,同解法1得到点B和点C,“作线段AB的垂直平分线”,过点C作CE⊥AB于点E,得到AE=BE,用“作一个角等于已知角”,过点E作∠AED=∠ABC,得到△AED≌△EBC,ED∥BC,利用全等的对应边相等,得到ED=BC,故四边形EBCD是平行四边形,CD∥AB.

分析看到60°想到等边三角形,为得到CD∥AB故作出平行四边形,由平行四边形的对边平行,得到答案.使用了3种基本作图得到答案.

图7 图8

解法7作线段垂直平分线，作一条线段等于已知线段得到点D

如图8,同解法1得到点B和点C,再作线段AB的垂直平分线得到点E,过点E作ED=BC,作点D.

分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD//AB,利用AR⊥AK想到作矩形,利用矩形的对边平行.

解法8作线段垂直平分线，过一点作已知直线的垂线得到点C

如图9,同解法1得到点B,作线段AB的垂直平分线交AB于点E,过点E作ED=AB,得到△AED为含30°的直角三角形,作点D,过点D作AR的垂线交线段AB的垂直平分线于点C.

分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,为了得到CD∥AB,作CD⊥AR.使用了3种基本作图得到答案.

图9 图10

解法9作线段垂直平分线，过一点作已知直线的垂线得到点C

如图10,同解法8得到点D,过点D作AR的垂线,再过点D作DC=AE,得到点C.

分析看到60°,AR⊥AK想到含30°的直角三角形,为了得到CD∥AB,作CD⊥AR,利用DC=AE得到点C.

解法10作线段垂直平分线得到点D

如图11,同解法1得到点B和点C,作线段AC的垂直平分线交AC于点E,再以点E为圆心,EC为半径画弧,交AR于点D,作点D.

图11

分析看到60°想到等边三角形,为了得到CD∥AB,看到AR⊥AK想到去得到∠ADC=90°,利用直径所对的圆角为90°,得到答案.

上述10种解法,大多采用1种多次使用或2种或3种基本的尺规作图组合完成,依据几何性质,找到相应的基本作图,产生出不同的解法.

2 对尺规作图的教学意义再理解

2.1 在尺规作图教学中,可以利用一题多解与多解归一方式培养核心素养

本题内涵丰富,解法多样,多种解法都能回归到最基本的尺规作图,教学中对每一种解题方法给出逻辑思考,让学生在历练基本作图的基础上,知法明理,结合直觉思维与逻辑推理,在动脑、动手的学习中培养学生的数学思维,形成良好的直觉思维和几何直观等核心素养.

2.2 在尺规作图教学中,可以利用逆向思维方式培养探究意识

尺规作图不仅是一种操作,更是对数学思维和探究的一种过程,一种溯源过程.教师在教学中,要引导学生先自行独立思考,尝试各种解法,洞察学情,以学定教.

2.3 在尺规作图教学中,可以利用经典著作与故事渗透中国传统文化的教育

尺规作图是数学文化长廊中的不可多得的耀眼明珠,广大数学爱好者围绕着它,产生了许多有趣的数学问题,利用经典著作与故事,可以更好地传播数学文化,在操作与求证过程中,能深刻体会到尺规作图彰显了数学独特的文化魅力.