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天平砝码对对碰

2022-05-22邵勇

数学大王·中高年级 2022年5期
关键词:袋装砝码正整数

邵勇

到了发工资的日子,马小愉快地来到老板办公室,准备领工资。可是老板以面粉厂效益不好为由,想拖欠马小的工资。想领工资也可以,老板说马小得解决一个难题,才会给他发放工资。

为了满足不同客户的需求,你需要把厂里的面粉打包成不同规格的袋装面粉,质量分别是1 kg,2 kg,3 kg,……即千克数是从1开始的连续正整数。一定得是连续的,不能出现1 kg,2 kg,4 kg这样不连续的情况。

老板,我可以用厂里的面粉测量仪吗?

当然不可以,那个仪器很贵的,被你搞坏了怎么办?我私人赞助你1架天平和30个砝码吧。这些砝码的质量刚好都是1 kg的整数倍,够你用了。不过,用的砝码越少越好,多用的话会影响你的工资。而且你还不能用装好的面粉或者其他等质量的物品代替砝码,也不能通过混合装好的面粉得到其他质量的面粉。

初次尝试

老板的要求真是苛刻。为了能拿到工资,马小开始努力思考起来。要不,我先尝试2个砝码能称出多少种规格的袋装面粉吧。这样想着,马小拿起了1 kg和2 kg的砝碼。

马小先在天平左侧放上1 kg砝码,然后在天平右侧放上空袋子,一点点往袋子里加入面粉直至天平平衡,得到了1 kg装的面粉。同样地,在天平左侧放2 kg砝码,重复上述操作就可以获得2 kg装的面粉。

那3 kg装的面粉是怎么获得的呢?这个很简单,只需在天平左侧同时放上1 kg和2 kg这2个砝码即可。至此,马小用2个砝码,获得了3种规格的袋装面粉:1 kg装,2 kg装和3 kg装。但是,马小想要让砝码的利用率达到最高。有没有可能换用另外2个砝码,得到3种规格以上的袋装面粉呢?他尝试选取1 kg和3 kg这2个砝码,然后发现可以用它们称出4种连续质量的袋装面粉:1 kg装,2 kg装,3 kg装和4 kg装。

那马小是怎么利用这2个砝码称出2 kg装的面粉的呢?这就要依靠数学的方法了。根据数量关系“ 3-1=2”,我们在天平左侧放上3 kg砝码,再在天平右侧放上1 kg砝码和空面粉袋,最后在袋中一点点加入面粉,直至天平平衡。

马小又有了新的主意。如果选取2 kg和3 kg这2个砝码,是否可行呢?这样可以得到1 kg(1=3-2)装,2 kg装,3 kg装,5 kg(5=3+2)装的面粉,但是得不到4 kg装的面粉。这4种袋装面粉的质量是不连续的,不符合老板的要求。接着,马小还用了1 kg和4 kg这2个砝码,却得不到2 kg装的面粉。于是,马小最终得出这样的结论:

在只允许用2个砝码的情况下,要想获得从1 kg开始且尽量多的连续正整数的千克数的袋装面粉,用1 kg和3 kg这2个砝码是最好的选择,可以得到1 kg装,2 kg装,3 kg装和4 kg装这4种袋装面粉。

再加一个?

有了刚刚的小成就,马小开始继续研究3个砝码的情况。如果第一个和第二个砝码是1 kg和3 kg,那么第三个砝码是多少kg呢?刚刚用1 kg和3 kg这2个砝码得到的最大质量是4 kg,那么接下来想要得到5 kg装的袋装面粉,马小应该怎么做?

一开始马小用减法增大了面粉的质量,从而增加了袋装面粉的规格种数。所以,接下来马小想通过“9-4”得到5 kg装的面粉。于是,他选的第三个砝码质量为9 kg。这样,通过减法可以得到5 kg(5=9-4),6 kg(6=9-3),7 kg(7=9+1-3),8 kg(8=9-1)这4种规格的袋装面粉,当然9 kg装的面粉也可以轻松获得。这时,有的小伙伴可能会问:10 kg不是更大吗,那用10 kg砝码替代9 kg砝码行不行?这是不行的,因为10 kg减去最大的4 kg得到的是6 kg装的面粉,减去更小的3 kg,2 kg或1 kg,更不可能得到5 kg装的面粉,这时面粉的质量就不连续了。

其实,选取9 kg作为第三个砝码还有别的好处。只用1 kg和3 kg这2个砝码,可以称得质量分别为1 kg,2 kg,3 kg和4 kg的袋装面粉。那么,有了9 kg这个砝码后,还可以称出10 kg(10=9+1)装,11 kg(11=9+3-1)装,12 kg(12=9+3)装和13 kg(13=9+3+1)装这4种规格的袋装面粉。当3个砝码全都放在天平左侧时,13 kg已是可称得的最大质量了。

目前已经可以称出13种规格的袋装面粉了。马小还想继续称出14 kg装的面粉。“14”可以通过减法“27-13”得到,所以,他选取的第四个砝码就是27 kg。这时,4个砝码的质量分别是:1 kg,3 kg,9 kg和27 kg,可称得的最大质量是1+3+9+27=40(kg)。大于13 kg又小于40 kg的质量可以通过 “加减法”获得。

比如,要称19 kg的面粉,马小可以先在天平左侧放上27 kg的砝码。根据27-19=8,马小还得在天平右侧加上8 kg的砝码,“8”可以通过“9-1”得到,即先在天平右侧放9 kg砝码,再在左侧放1 kg砝码。待右侧加上19kg面粉时,天平平衡,总的平衡式为27+1=19+9。

有趣的规律

马小总结了在这几次称重中所用到的砝码质量,分别是:1,3,9,27,……而这串数字有一个奇妙的规律:

30,31,32,33,……

这是一个等比数列,即从数列的第二项起,每一项与它前面一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。

照此规律,若用6个砝码,则这6个砝码的质量分别是:1,3,9,27,81,243。这些砝码可以称出从1 kg开始,一直到364 kg为止的连续正整数千克数的364种袋装面粉。而且,砝码的个数、质量与面粉规格种数有如下的递推关系。

最终,马小顺利解决了老板抛出的难题,领到了工资。马小还利用总结出的规律,多次成功地应付了老板的刁难。

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