瞿朝朝，刘 斌，张 静，刘玉娟，王立垒

(中海石油(中国)有限公司 天津分公司，天津 300459)

渤海X油田地层原油黏度为50～200 mPa·s，属于稠油油田，纵向上发育多层储层，不同层对应外边界条件不同，层间夹层分布相对稳定，为中高孔、中高渗储层。国内外学者在研究稠油试井问题时，将稠油处理为幂律流体，并求解其数值解[1-4]。如1980年Ikoku等人研究了考虑井筒储集和表皮效应的非牛顿幂律流体在多孔介质中的瞬态流动特征,2002年张传宝等人研究了非牛顿幂律流体试井解释方法。前人研究表明，稠油黏度受温度影响显著，稠油在低温下黏度大，为非牛顿流体；在高温下黏度小，为牛顿流体，如张凯等开展的稠油流变特性实验研究[5-6]。随后，科研工作者又对稠油油藏复合模型展开了相关研究[7-11]，如2006年刘彬等学者提出的稠油热采牛顿-非牛顿渗流复合油藏试井解释模型。但目前不同组合外边界下多层稠油油藏牛顿-非牛顿双区复合试井研究较少，海上该类油藏的试井解释尚无经验可循。鉴于海上不同组合外边界条件下多层稠油油藏热采试井资料解释困难的问题，本文基于渗流力学理论，建立了不同组合外边界条件下多层稠油热采试井模型，运用有限差分算法得到各层井底压力的瞬时解，并绘制出压力和压力导数双对数理论图版，旨在为海上该类油藏的试井解释提供一定理论指导。

1 物理模型建立

稠油油藏热采过程中，加热波及区流体性质不同于未波及区流体，因此将油藏划分成内外两区，即加热波及区和冷油区，双区复合模型如图1所示。

假设条件如下:

1)考虑地层中心有1口生产井，纵向钻遇2层储层，储层之间有稳定隔夹层(见图1)。储层均质水平等厚，原始条件下地层压力分布均匀。

2)流体为单相微可压缩流体，流动满足达西定律。

3)忽略重力及毛管力影响。

4)考虑井筒储集和表皮效应影响。

5)两区渗流界面不存在附加压力降。

2 试井模型建立及求解

2.1 数学模型

复合模型内区流体为加热区域，流体可视为牛顿流体，外区流体为稠油溶液，流体可视为非牛顿流体，基于上述物理模型，以渗流力学基本理论为指导，建立不同组合外边界下多层稠油热采双区复合试井解释数学模型。

渗流方程：

第一层内区：

(1)

式中：r为半径，m；P11为第一层内区地层压力，MPa；μ1为内区加热流体黏度，mPa·s；φ1为第一层孔隙度；Ct11为第一层内区综合压缩系数，MPa-1；k11为第一层内区渗透率，10-3μm2；t为时间，s；rm为内区半径，m。

第一层外区：

(2)

式中：μ2为外区冷油溶液黏度，mPa·s；P12为第一层外区地层压力，MPa；Ct12为第一层外区综合压缩系数，MPa-1；k12为第一层外区渗透率，10-3μm2。

第二层内区：

(3)

式中：P21为第二层内区地层压力，MPa；Ct21为第二层内区综合压缩系数，MPa-1；k21为第二层内区渗透率，10-3μm2；re为边界半径，m。

第二层外区：

(4)

式中：P22为第二层外区地层压力，MPa；Ct22为第二层外区综合压缩系数，MPa-1；k22为第二层外区渗透率，10-3μm2。

初始条件：

P11(r,t=0)=P12(r,t=0)=P21(r,t=0)=P22(r,t=0)=Pi

(5)

式中：Pi为原始地层压力，MPa。

内边界条件：

(6)

式中：Q为产油量，m3·d-1；B为体积系数；C为井筒储集系数，m3·MPa-1；Pwf为井底流压，MPa；h1为第一层地层厚度，m；h2为第二层地层厚度，m；r1为加热区半径，m。

(7)

式中：S1为第一层表皮系数；S2为第二层表皮系数。

外边界条件：

定压边界：

P12(r=re,t)=P22(r=re,t)=Pi

(8)

封闭边界：

(9)

界面压力、流速相等条件：

P11(r=rm,t)=P12(r=rm,t)

(10)

P21(r=rm,t)=P22(r=rm,t)

(11)

(12)

(13)

2.2 模型求解

基于油藏实际情况，模型考虑了内区流体加热后的牛顿特性及外区稠油溶液的非牛顿特性，渗流方程变得异常复杂，导致利用常规解析方法求解较困难，本文通过有限差分算法进行时空网格划分求解方程组，从而得到各层井底压力的瞬时解。

渗流差分方程：

第一层内区：

(14)

其中：

(15)

式中：i为对空间的离散，i=1，2，…，N；n为对时间的离散,n=1，2，…，K；Δt为离散时间步长，h；Δx为离散空间网格大小，m。

第一层外区：

(16)

其中：

(17)

第二层内区：

(18)

其中：

(19)

第二层外区：

(20)

其中：

(21)

初始条件：

(22)

(23)

内边界条件：

第一层内边界：

(24)

第二层内边界：

(25)

外边界条件：

定压边界：

(26)

封闭边界：

(27)

界面压力、流速相等条件：

第一层：

(28)

第二层：

(29)

其中：I为两区交界面处位置。

联立式(14)～式(29)，求解得井底压力随时间的变化值：

(30)

3 双对数曲线特征分析

通过对内外边界条件、初始条件、界面压力条件及渗流方程组进行差分离散化，并对井底压力进行量纲归一化处理，迭代求解得到井底压力和压力导数双对数曲线理论图版，如图2所示。

图2可划分为6个流动段：①段为井筒储集段，压力和压力导数曲线重合且成45°的直线；②段为井筒向地层过渡段；③段为内区加热区域拟径向流段，压力导数曲线呈现近0.5的水平直线，拟径向流段结束时刻对应波及距离即为加热前缘；④段为内区向外区过渡段，压力波及到外区冷油区，由于外区冷油区的稠油非牛顿特性，压力导数曲线呈“抬升”状；⑤段为外区冷油区拟径向流段，其中内区加热流体与外区稠油流体渗流达到平衡，表现为近水平直线，导数曲线在纵坐标上的值与冷油区稠油流体黏度相关；⑥段为多层油藏混合外边界响应流动阶段，首先压力波到达断层边界，导数曲线上翘，随后是定压边界的反映，压力导数曲线呈现平滑下掉趋势。

采用单一变量法研究加热半径、外区稠油黏度、不同混合边界对双对数曲线形态的影响。图3为加热半径对双对数曲线的影响。

从图3中可以看出，加热半径对内区拟径向流段的影响较大，加热半径越长，内区拟径向流阶段越明显且持续时间越长。

图4为外区稠油黏度对双对数曲线的影响。

从图4中可以看出，外区稠油黏度对内外区过渡段及外区拟径向流段的影响较大，外区稠油黏度越高，内区向外区过渡段的“抬升”幅度越大，外区拟径向流阶段在纵坐标上对应的值越大。

图5反映不同混合边界对双对数曲线的影响。

从图5中可以看出，当两层混合边界条件为断层+断层时，导数曲线上翘一直呈上升趋势；当混合边界条件为断层+定压时，导数曲线先上翘后下掉；当混合边界条件为定压+定压时，导数曲线无上翘段，呈平滑趋势直接下掉。

4 结论

1)基于渗流力学理论，构建了不同组合外边界下多层稠油热采牛顿-非牛顿双区复合试井数学模型，运用有限差分算法得到各层井底压力的瞬时解，并绘制出压力和压力导数理论图版。

2)双对数理论曲线可分为6个不稳定渗流阶段，研究了加热半径、外区稠油黏度、不同组合外边界对双对数曲线的影响。

3)模型可有效指导多层稠油热采效果及储层非均质性评价，对海上同类油藏的试井解释具有一定借鉴意义。