李洪兴

(1. 北京师范大学珠海校区 应用数学学院, 广东 珠海 519085; 2. 大连理工大学 控制科学与工程学院, 辽宁 大连 116024)

1 关于Riemann积分的定义

考虑一元函数f:[a,b]→R的Riemann积分[1].将闭区间[a,b]做如下的分割:

Δ:a=x0

记Δi=[xi-1,xi),i=1,2,…,n-1,以及

Δn=[xn-1,xn];Δxi=xi-xi-1,

i=1,2,…,n，

这样的分割Δ也可以写成

Δ={Δi|i=1,2,…,n}.

闭区间[a,b]上的全体分割记为Ξ([a,b]).

再记‖Δ‖=叫做分割Δ的模.为了方便,把自然数n叫做分割Δ的分割数;记为n=par(Δ).显然有‖Δ‖→0⟹n→+∞,但反之不然.

用C*[a,b]表示[a,b]上几乎处处连续的有界函数全体,根据函数Riemann可积的充分必要条件可知,C*[a,b]就是[a,b]上Riemann可积的函数全体,即C*[a,b]=R[a,b].在C*[a,b]中引入加法和数乘运算:

+:C*[a,b]×C*[a,b]→C*[a,b],

(f,g)f+g, ∀x∈[a,b],

(f+g)(x)=f(x)+g(x);

·:R×C*[a,b]→C*[a,b], (a,f)a·f,

∀x∈[a,b], (a·f)(x)=a·f(x),

不难验证(C*[a,b],+,·)构成一个线性空间.在C*[a,b]中再规定范数:

‖·‖c:C*[a,b]→[0,+∞),

f‖f‖c=

那么(C*[a,b],+,·,‖·‖c)就是一个赋范线性空间.

现在任取一个分割

Δ={Δi|i=1,2,…,n}∈Ξ([a,b]),

利用Δ构造定义在闭区间[a,b]上的一组函数:

χΔi:[a,b]→{0,1},

xχ

i=1,2,…,n,

显然,{χΔi|i=1,2,…,n}⊂C*[a,b],并且这组函数在C*[a,b]中是线性无关的.事实上,假定存在一组常数ai∈R,i=1,2,…,n,使得

a1χΔ1+a2χΔ2+…+anχΔn=0,

这里0∈C*[a,b],即0(x)≡0.任取x∈[a,b],则∃!i∈{1,2,…,n},x∈Δi,于是

0=a1χΔ1+a2χΔ2+…+anχΔn=aiχΔi.

∀i∈{1,2,…,n},ai=0,

记GΔ=span({χΔi|i=1,2,…,n}),表示由{χΔi|i=1,2,…,n}生成的C*[a,b]的n维线性子空间,而{χΔi|i=1,2,…,n}就是该子空间GΔ的基底.

任取ξi∈Δi,i=1,2,…,n,利用函数f得到n个常数f(ξi),i=1,2,…,n;由此构造函数组{χΔi|i=1,2,…,n}的一个线性组合

g

∀x∈[a,b],g

根据Riemann积分的定义,当f∈C*[a,b]时,便有

dx=

在Ξ([a,b])上定义等价关系“～”:

∀Δ1,Δ2∈Ξ([a,b]),

Δ1～Δ2⟺par(Δ1)=par(Δ2),

由此得到商集[2]

这里[Δ]是Δ所在的等价类.不难看出

这时,对于每一个n=1,2,…,在每个等价类Ξ(n)([a,b])中都取出一个代表元

Δ(n)={Δ(n)i|i=1,2，…,n},

n=1,2,…,

∀n,m∈N,n>m⟹‖Δ(n)‖<‖Δ(m)‖.

由此得到线性子空间序列

GΔ(n)=span({χΔ(n)i|i=1,2,…,n}),

n=1,2,3,….

gn≜g

∀x∈[a,b],g

dx=

证明对于任意的ε>0,因为f在[a,b]上连续,所以f在[a,b]上一致连续;于是∀x,x′∈[a,b],∃δ>0,使得

|x-x′|<δ⟹|f(x)-f(x′)|<ε.

取N=N(ε)∈N+,使得

∀n∈N+,n>N⟹‖Δ(n)‖<δ.

|gn(x)-f(x)|=|f(ξ(n)i)-f(x)|<ε.

这样一来,当f∈C[a,b],有

dx=

命题 2如果f∈C*[a,b]并且满足条件:

∀i∈{1,2,…,n},ξ(n)i∉A,

证明熟知A⊂[a,b]为零测集,而f在E=[a,b]A上处处连续.任取x0∈E,对于任意的ε>0,由于f在E上连续,故存在δ>0,使得∀x∈E∩(x0-δ,x0+δ),总有

|f(x0)-f(x)|<ε.

取N=N(ε,x0)∈N+,使得

∀n∈N+,n>N⟹‖Δ(n)‖<δ.

|ξ(n)i-x0|≤Δ(n)xi≤‖Δ‖<δ,

所以当n>N时,必有

|gn(x0)-f(x0)|=|f(ξ(n)i)-f(x0)|<ε.

2 关于Lebesgue积分的定义

设(X,R,μ)为测度空间[3],取可测集E∈R,满足μ(E)<+∞,假定f:E→R是有界可测函数,于是∃c,d∈R,使得c

c=c0

这里Δk=[ck-1,ck),k=1,2,…,n-1,以及

Δn=[cn-1,cn],

即Δ={Δk|k=1,2,…,n},记

‖Δ‖=

Ek={x∈E|f(x)∈Δk}=f-1(Δk),

k=1,2,…,n.

如果∃s∈R,使得∀ε>0,∃δ>0,∀Δ∈Ξ([c,d]),只要‖Δ‖<δ,便有

|S(Δ)-s|<ε,

即s=则称函数f在可测集E上关于测度μ是可积的,并把s叫做f在E上关于μ的积分,记作

在Ξ([c,d])上定义等价关系“～”:

∀Δ1,Δ2∈Ξ([c,d]),

Δ1～Δ2⟺par(Δ1)=par(Δ2),

由此得到商集

这里[Δ]是Δ所在的等价类.不难看出

这时,对于每一个n=1,2,3,…,在每个等价类Ξ(n)([c,d])中都取出一个代表元:

Δ(n)={Δ(n)k|k=1,2,…,n},

n=1,2,3,…，

∀n,m∈N,n>m⟹‖Δ(n)‖<‖Δ(m)‖.

注意到

E(n)k≜E(c(n)k-1≤f

{x∈[a,b]|f(x)∈[c(n)k-1,c(n)k)},

E(n)n≜E(c(n)n-1≤f≤c(n)n)≜

{x∈[a,b]|f(x)∈[c(n)n-1,c(n)n]},

n=1,2,3,…,k=1,2,…,n-1,

于是

{E(n)k|k=1,2,…,n}=

{f-1(Δ(n)k)|k=1,2,…,n},

FΔ(n)=span({χE(n)k|k=1,2，…,n}),

n=1,2,3,….

{χE(n)k|k=1,2,…,n}

的一个线性组合:

fn≜f

∀x∈[a,b],f

dx=

证明任取σ>0,存在N=N(σ)∈N+,使得∀n∈N+,n>N⟹‖Δ(n)‖<σ.于是

E(|fn-f|>σ)≜

{x∈E||fn(x)-f(x)|>σ}=

因此,m(E(|fn-f|>σ))=0,这说明

∀x∈[a,b], |fn(x)|≤M.

根据Lebesgue控制收敛定理可知

dx=

答案应该是肯定的.事实上,根据熟知的Lebesgue积分等式:

再利用Lebesgue积分和Riemann积分之间的关系,便有

此外,由Riemann积分等式

还可以得到结论:

ddx=

例 1现在用函数逼近论的思想来考察著名的Dirichlet函数的积分:

D:[0,1]→{0,1},

x

熟知D∉R[0,1],但D∈L[0,1].事实上,Ξ({0,1})={Δ1,Δ2},这里Δ1={0},Δ2={1},注意:

E1=D-1(Δ1)=[0,1]∩Qc,

E2=D-1(Δ2)=[0,1]∩Q,

显然{E1,E2}构成区间[0,1]的一个划分,而{χE1,χE2}是L[0,1]中的一个线性无关组,由此可以生成L[0,1]的一个二维线性子空间H≜span({χE1,χE2}).此时,对于积分来讲,线性组合系数只有唯一的一种取法:η1=0,η2=1.于是得到线性空间H中的一个元素:

h=η1χE1+η2χE2.

不难看出D=h∈H,由此便有

η1·[1·m(E1)]+η2·[1·m(E2)]=

η1·m(E1)+η2·m(E2)=

0·1+1·0=0.

ddx=

3 关于Riemann积分和Lebesgue积分的统一性

{χΔ(n)i|i=1,2,…,n};

gn=f(ξ(n)1)·χΔ(n)1+…+f(ξ(n)n)·χΔ(n)n,

GΔ(n)=span({χΔ(n)i|i=1,2,…,n})

恰好是R[a,b]的n维线性子空间,它对gn封闭.换言之,用有限维线性子空间的元素gn去逼近无限维线性空间R[a,b]的元素f.记G=那么

dim(G)=dim(∞.

这说明gn要想准确地逼近f,任何有限维线性子空间GΔ(n)的元素都是很难做到的.好在R[a,b]的线性子空间G=具有可数基.此外,虽然f,a.e.[a,b],但是极限与积分交换次序,即

ddx

一般不成立.当满足很强的条件f∈C[a,b]时,f在[a,b]上是一致收敛的,于是成立

dx=

fn=η(n)1·χE(n)1+…+η(n)n·χE(n)n,

FΔ(n)=span({χE(n)i|i=1,2,…,n})

恰好是L[a,b]的n维线性子空间,它对fn封闭.换言之,用有限维线性子空间FΔ(n)的元素fn去逼近无限维线性空间L[a,b]的元素f.

记F=那么

dim(F)=dim(∞,

dx=

4 连续函数的Riemann积分

任取函数f∈C[a,b],熟知

对于每一个n=1,2,3,…,在每个等价类Ξ(n)([a,b])中都取出一个代表元:

Δ(n)={Δ(n)k|k=1,2,…,n},

n=1,2,3,…,

n>m⟹‖Δ(n)‖<‖Δ(m)‖.

注意到

Δ(n):a=x(n)0

由此构造基函数组[5]如下(见图1).

图 1 连续基函数

μ

μ

i=1,2,…,n-1,

μ

f(x(n)0),f(x(n)1),…,f(x(n)n),

f

可以验证∀i∈{0,1,…,n},有

fn(x(n)i)=f(x(n)i),

B(n)i≜{f(x(n)i)},i=0,1,…,n,

l(n)i(x(n)i-1)=f(x(n)i-1),

l(n)i(x(n)i)=f(x(n)i),

i=1,2,…,n.

L(n)

i=1,2,…,n.

事实上,不难知道

L(n)i(x)=f(x(n)i-1)+

i=1,2,…,n,

f

证明因为f∈C[a,b],所以f在[a,b]上一致连续.于是,∀ε>0,∀x,x′∈[a,b],∃δ>0,只要|x-x′|<δ,就有

|f(x)-f(x′)|<ε.

取N=N(ε)∈N+,使得

n>N⟹‖Δ(n)‖<δ.

因为x∈[a,b],所以必有

∃!i∈{1,2，…,n},x∈Δ(n)i,

于是便有

|f(x)-fn(x)|=|f(x)-L(n)i(x)|=

|f(x)-f(x(n)i-1)-

此外,令w(n)显然满足∀i∈{1,2,…,n},必有且

注 2当每个分割

Δ(n):a=x(n)0

为等距分割时,即

Δ(n)i=x(n)i-x(n)

i=1,2,…,n,

又有

这究竟是个什么平均数呢？事实上,做如下的变形:

每个

sgn

最后再把积分进一步变形为下列形式: