李世银，鲁姗妹，马帅，3，4，张凡，徐子涵，王洪梅，李宗艳，熊海良

1 引言

随着物联网（Internet of Things，IoT）设备数量的急剧增加，用户对无线服务的需求日益增长，使得无线电频谱资源日益紧张［1，3］. 因此，使用普通的发光二极管（Light Emitting Diode，LED）即可提供通信的可见光通信（Visible Light Communication，VLC）［4］由于其具有巨大的自由光谱及低成本、无电磁干扰、可同时提供数据传输及照明服务等优势［5，6］，成为未来物联网应用中的一种很有前景的技术.

从无线通信的角度来看，VLC 系统与传统射频系统一样，仍然面临着LED调制带宽受限［7］和多径衰落［8］引起的码间串扰（Inter Symbol Interference，ISI）问题.因此，正交频分复用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技术，作为移动通信系统中最著名的具有抗ISI 能力的频谱高效调制技术之一［9，10］，被引入VLC 系统来对抗ISI 并提高VLC 系统的通信能力. 对于多用户系统，通常将该技术与频分多址（Fre‑quency Division Multiplexing Access，FDMA）技术结合，即正交频分多址（Orthogonal Frequency Division Multi‑plexing Access，OFDMA），通过给不同的用户分配不同的子载波集来实现多址［11］.

由于VLC 采用简单的强度调制和直接检测（Inten‑sity Modulation and Direct Detection，IM/ DD）方法，因此发射信号必须为正的实信号. 直流偏置光正交频分复用（Direct Current biased Optical Orthogonal Frequency Division Multiplexing，DCO-OFDM）通过在时域信号中增加直流偏置，将仍为负的信号截断为零来保证传输的信号为正，由文献［12］可知，在同时需要数据通信和光照的典型VLC 下行链路中，DCO-OFDM 和直流偏置光正交频分多址接入（Direct Current biased Optical Or‑thogonal Frequency Division Multiplexing Access，DCOOFDMA）分别是最适合的调制技术和多址接入方案.

至今，已有大量文献对OFDMA 系统中的资源分配做过相应研究，并提出大量算法与资源分配方案［13，14］，但由于DCO-OFDMA 系统中直流偏置的影响及可见光信号传输的正实性等特性，导致DCO-OFDMA的系统性能与传统OFDMA 系统有着很大的差异［15］，因此传统的OFDMA 系统的资源分配算法并不完全适用于DCOOFDMA 系统. 在实际应用中，DCO-OFDMA 系统通常使用脉冲幅度调制（Pulse Amplitude Modulation，PAM）和正交幅度调制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）等有限字符输入，但目前关于DCO-OFDMA 系统研究的相关文献都基于如下假设：如果子载波数目足够多，则经过快速傅里叶逆变换（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）后得到的时域信号近似为高斯分布［12，15~17］. 但是，这种假设只有当子载波数目足够大时才适用，并且会导致信号的近似误差. 此外，假定为高斯分布的信号将在截断过程中被截断，造成截断噪声和信息损失［18，19］. 且文献［20］研究结果表明，基于高斯分布假设的功率分配方案在应用到有限字符输入时会导致显著的损失. 因此，现有的假设无法准确刻画有限字符输入DCO-OFDMA 系统的信息传输，相应的信息传输极限及系统的资源分配仍尚未有文献进行研究.目前，只有少数的文献［21］研究有界输入的可达速率表达式，但是可达速率没有闭式表达式，而文献［21］采用具有闭式表达式的下界来近似准确可达速率从而解决优化问题.

鉴于上述问题，本文研究了基于有限字符输入的DCO-OFDMA 系统的信息传输极限和无截断噪声的最优直流偏置，并提出了在用户速率门限约束下DCOOFDMA 系统总传输电功率最小化的资源分配方案，本文的主要贡献概述如下：

（1）据我们所知，有限字符输入DCO-OFDMA 系统的用户信息传输极限仍然未知. 为此，本文推导了有限字符输入下DCO-OFDMA 系统的无信息损失的用户准确可达速率. 由于用户准确可达速率没有闭式表达式，本文又推导了DCO-OFDMA 系统用户可达速率的具有闭式表达式的下界.

（2）基于用户可达速率下界，本文首先提出优化变量为子载波分配、功率分配及直流偏置的最小化总传输电功率的联合优化问题. 由于该联合优化问题复杂度高难以求得最优解，本文通过推导最优直流偏置及固定子载波分配方式，将原始优化问题简化为了优化变量为功率分配的最小化总信息传输功率的单变量优化问题.

（3）针对上述优化问题，本文利用拉格朗日函数、Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件，提出满足用户速率门限要求的最小化总信息传输功率的功率分配方案，并揭示该方案依赖于子载波之间的信道增益差异和用户速率门限的高低. 最后，对本文提出的资源分配方案与传统注水以及等功率分配方案作了对比，结果表明在低速率与高速率门限时，本文提出的方案效果明显优于等功率分配方案，并且在高速率门限时，本文提出的方案效果明显优于传统注水功率分配方案.

2 相关研究

2.1 基于OFDMA的资源分配的研究

OFDMA 系统中的资源分配一般包括子载波的分配、功率的分配、调制方式的选择等，且系统的最优资源分配方案可以用联合优化问题来求解，其中最经典的优化问题之一为基于总发射功率最小化的问题，即在用户数据速率的约束下，实现整体发射功率最小. 由于一个子载波不能被多个用户共享，使得求解该联合问题的最优解变的很困难［22］，文献［23］将该多用户OFDM 子载波、比特和功率分配联合优化问题进行分步优化，首先通过瞬时信道状态信息得到用户的子载波分配，然后确定每个子载波的比特数和发射功率，提出了一种次优的算法来最小化总发射功率. 文献［22］放松了约束条件，提出一种多用户自适应OFDM 子载波分配算法，降低了系统的总发射功率. 文献［24］针对快速时变多径衰落信道，提出了一种最小化系统总传输功率的次优的子载波分配算法，文献［25］固定了每个子载波的调制方式，考虑了有服务质量保证的OFDMA 系统的子载波和发射功率分配问题.

2.2 基于DCO-OFDMA的资源分配的研究

部分文献基于IFFT后的时域信号近似为高斯分布的假设，对DCO-OFDMA 系统的资源分配做过相关研究. 文献［15］研究了DCO-OFDMA 系统的下行链路的资源分配问题，在光功率约束下对直流偏置、功率和子载波进行了联合优化设计，提出了高效的直流偏置优化算法及子载波分配和功率分配策略，并给出了算法的收敛性分析. 文献［16］研究了基于DCO-OFDMA 的光保真技术（Light Fidelity，LiFi）系统中的资源分配，提出了一种最优的资源分配方案和一种基于LiFi 信道特性的低复杂度的资源分配方案，通过有效利用高频带宽资源，该系统的资源分配方案在数据速率和用户公平性方面均优于时分多址接入（Time Division Multiple Access，TDMA）系统. 文献［17］综合考虑了多小区多用户DCO-OFDMA 系统中功率分配、子载波分配、频率复用、低采样率、截断失真等问题，在峰值发射功率约束下最大化用户的最小吞吐量，通过跨多小区结构的资源分配，OFDMA 频率子载波集可以在不同小区中复用，增加了系统的容量. 但由于上述研究均基于近似高斯分布假设，所提出的功率分配方案应用到有限字符输入系统会造成显著的损失.

3 系统模型

由于OFDMA 系统对频率同步和定时同步有严格要求，且下行链路中系统的同步技术更易于实现，因此本文将DCO-OFDMA 系统资源分配的重点集中在下行链路［26］. 本文考虑了如图1 所示的基于有限字符输入的下行DCO-OFDMA 系统，系统共有2N个子载波，为U个用户同时提供通信.

在发射机端，不同用户的数据流输入子载波、比特及功率分配模块，系统根据子载波、比特及功率分配信息，将不同的子载波分配给不同的用户，并对各个用户的数据进行M维QAM 调制及功率分配. 由于VLC 系统采用IM/DD 方法，为保证IFFT 的输出信号为实值VLC 信号，因此输入IFFT 的数据应该具有厄米特对称性，则功率分配后2N个子载波的IFFT 输入信号应满足：

其中，pu,i是用户u在子载波i上传输的功率，且每个子载波最多仅可以分配给一个用户，若pu,i≠0，则对于任何u′≠u都有pu′,i=0；Xu,i表示用户u在子载波i上传输的信 号，若Xu,i≠0，则对 于任 何u′≠u都有Xu′,i=0 且Xu,0=Xu,N=0，E{|Xu,i|2}=1，由于信号的厄米特对称性，且第0、第N个子载波均不传输信息，则具有2N个子载波的DCO-OFDMA 系统有效传输信息的子载波共有N-1 个，定义N≜{1,2,…,N-1}表示有效子载波集；U≜{1,2,…,U}表示用户集合.

注意，由于每个子载波最多仅可以分配给一个用户，假设分配给用户u的子载波集定义为Nu，对于任意u′≠u，有且为保证各个用户都有可用子载波，本文要求N-1 ≥U.

图1 DCO-OFDMA系统框图

时域内的IFFT输出信号xk由式（2）给出：其中k=1,…,2N-1，Re(∙)和Im(∙)分别表示变量的实部和虚部. 容易发现E{xk}=0.

为保证VLC 信号非负性，系统采用了截断操作.具体来说，时域信号xk在值-Idc上被截断为截断信号xclip,k，其中Idc为直流偏置，且截断操作定义为：

然后，xclip,k与Idc相加，其中Idc仅影响频域中的第0 个子载波. 因此，获得了如下非负信号：

xdc,k=xclip,k+Idc（4）

如果我们为了避免截断噪声带来的信息损失，时域信号xk的幅度应该是有限的，并且应该选择合适的直流偏置Idc，xk和Idc的对应约束应该为：

xk+Idc≥min{xk}+Idc≥0 （5）

注意到VLC 系统的信道一般为低通信道［18，27］，可利用各子载波之间的信道增益差，向各子载波分配适当的功率来改善VLC 系统的性能. 室内VLC 信道由两个部分组成：发射端与接收端之间的视距链路（Line Of Sight，LOS），以及由房间表面的一次或多次反射引起的所有非LOS分量的叠加而形成的散射链路.

令Hu,i,L=ηLe-j2πfu,iτL表示用户u在第i个子载波上对应的LOS 链路的信道增益，其中ηL为广义朗伯发射模型［6，27］，表示为：

在式（6）中，m=-ln 2/ln(cosϕ1/2)表示朗伯发射阶数，ϕ1/2表示半功率角，AR表示光探测器（Photo Detector，PD）的有效探测面积，φ和θ分别代表LED到PD的入射角和辐射角，T(φ)和G(φ)分别表示接收机的光滤波器增益和集中器增益，ψ表示接收机的视场角（Field Of View，FOV），当|x|≤1时，矩形函数rect(x)取1，否则取0，fu,i表示用户u在子载波i上的频率，若子载波i没有分配给用户u，即当i∉Nu时，fu,i=0，τL=d/c为LED到PD的信号传播时延，其中d为LED到PD的距离，c表示光速.

用户u在子载波i上的总信道增益Hu,i可表示为：

假设子载波、比特及功率分配信息通过单独的控制信道发送给接收机，在接收端，接收到的光信号通过PD 转换为模拟电信号，然后通过模数转换器（Analogto-Digital Convertor，ADC）得到数字信号，通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）后，根据子载波和比特分配信息提取用户u的数据.

具体而言，用户u在第i个子载波上的接收信号Yu,i可以表示为：

其中，Zu,i是均值为零的加性高斯白噪声，即Zu,i~CN(0,σ2W)，其中σ2表示噪声功率谱密度，W为每个子载波的带宽.

4 DCO-OFDMA 系统中各用户的准确可达速率及速率下界

迄今为止，在现有的大多数工作中，DCO-OFDMA系统中各用户可达速率都是基于IFFT后得到的时域信号近似为高斯分布的假设推导的，而具有有限字符输入且无信息损失的DCO-OFDMA 系统的用户准确可达速率仍然未知. 因此，本文首次研究了具有有限字符输入且无信息损失的DCO-OFDMA 系统中各用户的准确可达速率.

假设用户u在子载波i上传输的信号为Xu,i，离散星座点等概率地从M维的离散星座集中取出，其中Xu,i,n表示用户u在第i个子载波上的第n个星座点. 因此，具有有限字符输入且无信息损失的DCO-OFDMA系统的第u个用户的准确可达速率可以表示为：

值得注意的是，当M≥2 时，式（9）中的准确可达速率的期望项是不可积函数，且缺乏闭式表达式，虽可以用蒙特卡洛方法进行求解，但计算复杂度较高且耗时较长［21］. 为了解决这个问题，本文进一步推导了式（9）的闭式表达式的下界. 具体来说，式（9）中期望项的上界推导由式（10）给出：

其中步骤（a）成立是基于Jensen 不等式［21］且log2(∙)是凹函数.

因此，有限字符输入DCO-OFDMA 系统中第u个用户的可达速率下界为：与类似，也是关于功率分配pu,i的凹函数，且文献［21］表明下界做一个常数位移，可以非常近似准确可达速率值，所以下界可以作为准确可达速率值的一个低复杂度的很好的近似.

5 基于用户速率约束的DCO-OFDMA 系统资源分配问题

在本节中，本文研究了在各用户速率门限约束下DCO-OFDMA 系统的总传输电功率最小化问题. 由于用户的准确可达速率式（9）缺乏闭式表达式，且利用蒙特卡洛方法所需计算复杂度较高，因此，本文中考虑对用户可达速率的下界式（11）进行约束，且在可达速率下界满足速率门限要求的同时，准确可达速率也一定满足速率门限要求.

基于上述分析，本文中考虑的基于用户速率门限约束的DCO-OFDMA 系统的总传输电功率最小化问题可以写为：

观察优化问题式（12）可知，原始优化问题为子载波分配{Nu}，功率分配{pu,i}及直流偏置Idc的联合设计，使得优化问题变得复杂且难以处理，为简化联合优化问题，本文考虑固定子载波的分配方式.

子载波的固定分配方式主要有连续分配和交织分配两种，分别如图2（a）和图2（b）所示. 连续分配是指系统将相邻一段子载波分配给一个用户用来传输数据，交织分配是指系统将各个子载波依次分配给不同用户来传输数据. 用户在子载波交织分配时在整个系统带宽内均匀分布，相比于连续分配方式，该方式下用户分配公平性更高，且具有更高的载波传输效率及多样性，可以更好地抗频率选择性衰落［29］，因此本文采用子载波交织分配的方式，重点研究直流偏置Idc的选择及功率分配{pu,i}.

图2 子载波分配方式

进一步地，基于式（4）和式（12）中的约束C1，目标函数即系统的总传输电功率可以表示为：

其中，步骤（a）成立 是基 于式（4）和约 束C1，即xclip,k=xk，步骤（b）成立是遵循帕萨瓦尔定理，即时域信号xk的电功率为：

由步骤（b）可知，系统的总传输电功率由两部分组成，一部分是用来传输信息的pu,i的功率，另一部分是不携带信息的直流偏置Idc的功率. 观察优化问题式（13）的目标函数可知，为了在满足约束条件C1 的情况下使得系统的总传输电功率最小，直流偏置的最优值Ioptdc应选为在不对信号xk产生截断造成信息损失的情况下使直流偏置的功率最小的值.

具体来说，由式（2）可知：

因此，在不截断信号xk的情况下，最小化直流偏置功率的最优Ioptdc可以写成：

因此，将式（16）中的最优Ioptdc代入步骤（b）中公式，总传输电功率可以写为：

根据柯西施瓦兹不等式：总传输电功率式（13）的上界为：

因此，最小化总传输电功率的原始优化问题可以转化为最小化总传输电功率上界的优化问题，由上述分析可知，原始优化问题可以转化为：

注意到本优化问题的目标函数关于pu,i是仿射函数，约束关于pu,i是凹函数，这类优化问题可以基于KKT 条件高效求解. 为此，本文首先推导出该问题的拉格朗日函数，如式（21）所示：

其中λu≥0,∀u∊U为问题式（20）中的约束C1 对应的拉格朗日乘子. 然后，可以得到问题式（20）的KKT 条件如下：

其中，式（22）的表达式可以写为：

根据式（27）可以得到功率分配pu,i与λu的隐式表达式，且对偶变量λu可以通过算法1 中所列的二分搜索法得到.

6 仿真结果与讨论

在本节中，本文给出数值结果来说明所提出的满足用户速率门限的情况下DCO-OFDMA 系统的总传输电功率最小化问题的功率分配方案. 本文考虑在配备了4 个LED 灯的(5×5×5)m3的房间中研究上述DCOOFDMA 系统，且三维笛卡尔坐标系(X,Y,Z)的原点(0,0,0)位于方形房间地板的一个角上. 用户1的接收机位于(2.5,2.5,0)m，用户2 的接收机位于(0.5,0.5,0)m，四个LED 灯分 别位 于(1.5,1.5,3) m，(1.5,1.5,3) m，(1.5,1.5,3)m，(3.5,3.5,3)m. 本文假设子载波采用交织式分配方式，奇数子载波分配给用户1，偶数子载波分配给用户2，且各子载波传输的比特数相同、调制方式也相同. 系统的其他基本参数见表1.

为了说明子载波信道增益之间的差异对功率分配的影响，在图3 中给出了本文DCO-OFDMA 系统采用的信道模型对应的用户1 与用户2 的半子载波的信道增益Hu,i，即等式（7）. 从图3 中可以看出，两用户相对应子载波的信道增益Hu,i均随着子载波索引数的增加而减小，即本文采用的信道模型也具有低通特性，且用户1的信道增益高于用户2的信道增益.

表1 仿真参数表

图3 两用户的信道增益随子载波序号的变化

图4 给出了第1 个子载波与第15 个子载波对应的可达速率下界随分配功率的变化情况. 可以看出，随着分配功率的增加，第一个子载波的可达速率下界和第15 个子载波的可达速率下界均先快速增加后缓慢增加，且均逐渐接近log2M（M=4）. 这是因为M维离散星座调制的互信息不能超过log2M. 观察两条曲线的增长趋势可以发现，当分配功率较小时，第1 个子载波对应的速率下界的增长速度明显高于第15个子载波对应的速率下界的增长速度，而当分配功率较大时则相反.此外，由于Hu,1>Hu,15，因此第1个子载波对应的可达速率下界高于第15个子载波对应的可达速率下界.

为了说明在低、中、高三种速率门限约束情况下各子载波的功率分配情况，本文分别给出了γu=3 Mbit/s、γu=8 Mbit/s、γu=13 Mbit/s三种情况下用户1与用户2对应的子载波功率分配的对比图，分别如图5（a）~图5（c）所示.

图4 子载波可达速率下界随着分配功率的变化情况

从图5（a）可以看出，对于用户1和用户2来说，当速率门限较小时（γu=3 Mbit/s），信道增益较大的子载波均分配的功率更多，且用户2 分配的功率明显高于用户1分配的功率. 结合图5（a）和图4可知，这是因为当速率门限较小时，达到该速率门限所需分配的功率较少，当分配功率较少时，信道增益较大的子载波的速率下界比信道增益较小的子载波的速率下界的增长速度更快，因此，为了在达到速率门限的条件下使得系统总传输功率最小，应该给信道增益较大的子载波分配更多的功率，且由于用户2 的信道增益相比用户1 来说更差，所以达到相同的速率门限时，用户2所需分配的功率更多.

图5（b）表明，对于用户1和用户2来说，在中等速率门限（γu=8 Mbit/s）的条件下，信道增益中等的子载波均分配更多的功率，且由于用户2的信道增益比用户1的信道增益差，用户2分配的功率依旧明显高于用户1分配的功率. 结合图5（b）和图4可以看出，这是因为随着速率门限的增大，达到该速率门限所需分配的功率变多，而随着分配功率的增大，信道增益较大的子载波对应的速率下界的增长速率逐渐小于信道增益中等的子载波对应的速率下界的增长速率，因此，为了在达到速率门限的条件下使得系统总传输功率最小，应该优先将功率分配给此时速率增长最快的、信道增益中等的子载波.

从图5（c）可以看出，对用户1 和用户2 来说，当速率门限较大时（γu=13 Mbit/s），均为信道增益较小的子载波分配更多的功率，且由于用户2的信道增益比用户1 的信道增益差，用户2 分配的功率依旧明显高于用户1 分配的功率. 结合图5（c）和图4 可以看出，这是因为当速率门限较大时，所需分配的功率也较多，而此时，信道增益较大的子载波对应的速率下界接近饱和（log2M），而信道增益较小的子载波对应的速率下界还未达到饱和，因此，为了在达到速率门限的条件下使得系统总传输功率最小，额外的功率优先分配给容量仍未饱和的、信道增益较小的子载波.

图5 三种情况下用户1与用户2对应的子载波功率分配图

图6 对比了不同调制阶数下总信息传输功率随速率门限的变化情况，从图6 可以看出，在三种不同的调制阶数下，总信息传输功率均随着速率门限的增大而增大，且随着调制阶数的增大，对应的总信息传输功率逐渐减小，图线之间的间隙随着速率门限的增大而逐渐变大. 这是因为子载波采用调制阶数越高，数据传输的速率越大，则在达到相同的速率下界门限要求时所需消耗的功率越少.

图7 给出了本文提出的功率分配方案和等功率方案以及传统注水对应的总信息传输功率随速率门限γu变化的对比. 可以看出，三种不同的功率分配方案所对应的总信息传输功率都随着速率门限的增大而增大，且本文提出的功率分配方案对应的总信息传输功率总是小于等于传统注水和等功率分配方案对应的总信息传输功率，对于传统注水的功率分配方案，在速率门限较大的情况下效果更优，而对于等功率分配方案，在速率门限较小与较大两种情况下效果更优.

图7 本文提出的功率分配方案与另两种分配方案对应的总信息传输功率随速率门限变化的对比

7 结论

本文首次推导了有限字符输入DCO-OFDMA 系统的无信息损失的用户准确可达速率及其下界，并提出了满足用户速率门限要求的最小化系统总传输电功率的功率分配方案. 本文首先提出了优化变量为子载波分配、功率分配及直流偏置的最小化总传输电功率的联合优化问题，进一步，本文固定了子载波分配方式并推导了最优直流偏置，将原始优化问题简化为优化变量为功率分配的最小化总信息传输功率的单变量优化问题. 然后本文利用拉格朗日函数、KKT 条件，提出了满足用户速率门限要求的最小化总信息传输功率的功率分配方案. 最后，仿真结果表明，本文提出的功率分配方案依赖于子载波之间的信道增益差异和用户速率门限，当速率门限较低时，各子载波的功率分配与信道增益成正比，当速率门限较高时，各子载波的功率分配与信道增益成反比. 此外，调制阶数越高，满足相同速率门限所需的总信息传输功率越低，且本文提出的功率分配方案在低速率门限与高速率门限时效果明显优于等功率分配方案，并且在高速率门限时效果明显优于传统注水功率分配方案.