李霞，周克民

(华侨大学 土木工程学院，福建 厦门 361021)

结构几何构造分析是结构分析和优化的重要基础[1-5]，特别是桁架[3-5]、张弦结构[6]、网架结构[7]及折叠结构[8]等工程结构设计经常需要进行几何构造分析.目前，几何构造分析以几何方法为主，静力法等作为补充.对于简单结构，几何方法较为直观且容易理解和操作.然而，几何方法无法解决许多实际复杂结构，仅限于平面结构体系[9-10].文献[11-14]从矩阵位移法出发，提出的解析方法更具一般性，但其仅适用于桁架和刚架等杆系结构，任意形状的刚体则需要转化为没有多余约束的几何不变的等效桁架结构，但对于形状复杂或与周围连接较复杂的刚体，这种转化并不容易.张速等[15]提出几何作图法.舒开鸥等[16]根据运动学推导了一些性质，对几何分析有一定的帮助.徐子善[17]提出用齐次坐标分析平行链杆约束.然而，以上方法都无法扩展应用的范围.

必要约束和多余约束可以有许多组合.对于含有多余约束的结构系统，认定多余约束的方法并不唯一.对于缺少必要约束的结构系统，补充必要约束的方法也不唯一.目前，各种分析方法都无法找出所有可能的多余约束，也不能确定所有可以补充必要约束的约束形式.基于此，本文提出一种基于运动学的结构几何构造分析解析方法.

1 位置和约束分析

1.1 位置的表示方法

(1)

1.2 约束的向量表达式

约束包括链杆约束和铰约束.连接刚体1上的点i和刚体2上的点j的链杆约束为

(2)

式(2)中：n为点i，j之间的链杆方向向量.

刚体1，2在点j的铰约束为

(3)

如果刚体2上的点j沿n方向有另一点k，在同一个刚体上两点之间的长度不变，则有

(4)

联立式(2)，(4)，可得

(5)

比较式(2)，(5)可知，链杆约束可以在刚体上沿约束向量方向等效移动，该移动必须在同一个刚体上(式(4)成立的条件)，这类似于力在刚体上沿力的作用线方向静力等效移动的性质，故将此性质称为“链杆约束在刚体上的等效移动”.

1.3 约束的矩阵表达式

假设系统有N个自由度，用向量X表示；系统有M个约束，用约束方程表示为

qjX=0，j=1，2，…，M.

(6)

式(6)中：qj为约束向量，约束向量与约束严格一一对应.

定义约束方程系数矩阵Q为

(7)

将所有约束统一写成约束方程，即

QX=0.

(8)

1.4 约束方程系数矩阵的性质

对于几何不变体系，所有位移为零.因此，几何不变体系的式(8)仅有零解.约束方程系数矩阵的秩R=rank(Q)为必要约束数量，L=M-R>0，L为多余约束的数量.根据线性代数理论，式(8)仅有零解的充要条件是R=N.如果F=N-R>0，则系统有F个未约束的自由度.

(9)

式(9)中：pi，j是矩阵P的分量，即约束{qj，j∈Sb}线性相关，所以必然含有多余约束.

这些性质同样适用于平面问题和空间问题.简单起见，以平面问题为例进行叙述.

上述是基于体系瞬时状态的无限小位移运动分析，无法区分几何瞬变体和几何常变体，研究常变状态需要建立一般位置的运动方程.

2 应用算例

例1分析桁架结构几何构造.

解法1：例1结构(解法1)，如图1所示.图1中：1～3为研究对象(此处表示结点)；x，y为坐标系；括号中的数字为约束编号；图中尺寸均无量纲，下同.

图1 例1结构(解法1)

以结点为研究对象，共3个结点，作为平面问题，共6个自由度(N=6)，6个约束(M=6).

约束方程为

(10)

式(10)中：v1～v3为位移的竖直分量；u1～u3为位移的水平分量.

约束方程的矩阵形式为

(11)

约束方程系数矩阵的秩R=5，系统有1个多余约束(M-R=1)，1个未约束的自由度(N-R=1).

约束方程系数矩阵经行初等变换后，可得

(12)

式(12)第6行为

3q1-4q2+q3+q5-3q6=0，

(13)

即约束(1)，(2)，(3)，(5)，(6)中任意1个约束都可以作为多余约束，因为q4与其他变量线性无关，所以约束(4)是必要约束.

解法2：例1结构(解法2)，如图2所示.

图2 例1结构(解法2)

以结点1～3构成的三角桁架(1个刚体)为研究对象，系统有3个自由度(N=3)，3个约束(M=3).

以结点1为基点，约束方程为

v1=0，u1-3θ=0， 4u1-3(v1+4θ)=0.

(14)

约束方程的矩阵形式为

(15)

经计算可得R=2，M-R=1，N-R=1，故有1个多余约束，1个自由度.

约束方程系数矩阵经行初等变换后，可得

(16)

由式(16)第3行可知，3q1-4q2+q3=0，即约束向量线性相关，这说明约束(1)～(3)中存在1个多余约束.由式(16)可知，v1=0，u1=3θ，即u1=3θ缺少1个必要约束.显然，解法2(以刚体为研究对象)比解法1(以每个结点为研究对象)的自变量和约束方程少很多.

例23个刚片两两通过1对平行链杆连接，分析其结构几何构造.

这是3刚片规则的1个特例，因为这个结构不能采用常规的几何构造分析方法，只能采用“无限远”的概念[1-2]，该概念在欧氏几何中并未定义，是一个很模糊的概念，缺乏理论依据.

采用解析方法，以第3个刚片为基础，结构如图3所示.图3中：1，2为研究对象(此处表示刚片).3对平行链杆方向分别记作n1=n2，n3=n4和n5=n6，并假设铰的位置不重合.由于两对平行链杆(1)-(2)，(3)-(4)导致两个刚片都只能平动，分别记作V1，V2，共2个自由度.

图3 例2结构

平行链杆约束(5)-(6)为

(V1-V2)·n5=0.

(17)

由于刚片1，2瞬时平动，所以每个刚片上任意位置的速度各自相同，而约束(5)-(6)的两个链杆平行，约束向量也相同，故两个平行链杆的约束表达式一样，完全等价，有1个多余约束，1个必要约束.因此，还存在1个自由度，该体系是有1个多余约束，1个自由度的几何可变体系.

上述分析也可用解析形式表达，两对平行链杆约束(1)-(2)，(3)-(4)为

(18)

平行链杆约束(5)-(6)为

(19)

(20)

(21)

6个约束可写成线性方程组形式，即

(22)

(23)

约束方程系数矩阵经行初等变换后，可得

(24)

式(23)表示当平行链杆不重合，当且仅当约束不相互平行(n1≠n3≠n5)时，约束方程系数矩阵的秩R=5，M-R=1，N-R=1，体系有1个多余约束，1个未约束的自由度.当3对平行链杆相互平行(n1=n3=n5)时，约束方程系数矩阵会增加1个线性相关的关系，因此，会多1个多余约束，少1个必要约束，R=3，M-3=2，N-R=2，体系有2个多余约束，2个未约束的自由度.

例3例3结构及分析过程，如图4所示.

(a)原结构 (b)结构1

解法1：例3结构用常规方法分析较为复杂，采用解析方法(链杆在刚体上等效移动)则非常简单.约束(12)，(13)，(15)，(16)在支座方向分别沿杆件4-1，6-7，2-1和8-7移动到结点1，7，形成结构1(图4(b))；依次去除二元体，形成结构2(图4(c)).显然，结点1，7各有1个多余约束，结点3，5在竖直方向各有1个自由度.去除2个多余约束，在2个自由度方向施加2个约束，形成结构3(图4(d))，这是没有多余约束的几何不变体系.因此，原结构是有2个多余约束，2个自由度的几何可变体系.

采用刚体运动学的代数方法进行分析.约束方程系数矩阵Q的秩为R=14，N=M=16，M-R=2，N-R=2，故有2个多余约束，2个自由度.

(25)

q1+q2+q3+q8-q9+q13-q14-q16=0，q4-q5+q12-q14+q15=0，

(26)

即约束(式(1)，(2)，(3)，(8)，(9)，(13)，(14)和(16))及(式(4)，(5)，(12)，(14)和(15))每组约束中各有1个多余约束.

约束方程经行初等变换后，可分解为

u1=v1=v2=u3=u5=u7=v7=v8=0，

(27)

u2=v3=u4=v4， -v5=u6=-v6=u8.

(28)

式(27)，(28)中：式(27)各项对应约束自由度；(u2，v3，u4，v4)，(v5，u6，v6，u8)两组位移中各有1个自由度，即这两组位移中对应各施加1个约束，成为几何不变体系(式(28)也同时表示了几何可变体系的变形形态).

解法2：以结点1～4和结点5～8分别围成的部分各构成2个刚片，以其为研究对象，结构如图5所示.以每个刚片的左下角结点2，6为基点，约束方程为

图5 例3结构(解法2)

(29)

约束方程经行初等变换后，可得

u2=θ1，v2=0，u6=-v6=θ2，

(30)

-q1+q2+q3=0， -q1+q4-q5+q6=0.

(31)

由式(30)，(31)可知：(u2，θ1)，(u6，v6，θ2)两组位移中各有1个自由度，各缺少1个必要约束；两组约束(式(1)，(2)和(3))，(式(1)，(4)，(5)和(6))中各有1个多余约束.

3 结束语

基于运动学的解析方法为结构几何构造分析提供了有效的方法，特别是对采用几何方法分析有困难的问题，其效果更为显著.该方法可以得到更多的结构信息，还可以直接应用于空间结构的几何组成分析，无需补充更多规则和技巧.