谢汶沛 冉智文

（重庆交通大学 机电与车辆工程学院，重庆 400074）

1 问题重述

1.1 问题背景

转椅是办公椅大类中的一种，由于转椅生产量越来越大生产厂家日益增多，如何对转椅的质量进行检测是当务之急[1]，但是随着近几年来家具行业的高速发展，企业之间的竞争越来越激烈，部分企业以次充好，用毫无质量保证的材料和配件来生产转椅[2]为了保障客户的使用安全性。在批量生产前需要对办公转椅进行力学分析。假设一种坐着可以360°转动的椅子。靠背能倾斜的办公座椅尤其受到办公人员的青睐。所以当倾斜靠背时，可以让人保持放松的姿势。靠背倾斜的变化过程如图1 所示。

当靠背倾斜的角度比较大时，还可以让人在中午时坐在上面保持半躺的姿势小睡片刻。倾斜的角度越大越好。因此，角度成为部分人选择转椅时的一个标准。不同商家在销售转椅时，都标出了靠背的倾斜角度。

1.2 问题提出

1.2.1 现有一种转椅，其尺寸见图1。

图1

试建立模型描述此转椅靠背的动态变化过程。

1.2.2 当转椅上坐着一个身高175cm，体重70kg，体型正常的人时，试建立数模描述此时转椅重心的动态变化过程，分析转椅能倾斜的最大角度；为了在最大角度时保持转椅的稳定性，即转椅不歪倒，分析承载人员的最大体重。（身高体重按照体质指数BMI 为22 来测算）

2 模型假设

（1）人体和椅子密度分布均匀；

（2）底座接触面积为圆形；

（3）假设靠背、坐垫均为直线段，连接处均为直线段连接；

（4）坐垫位于水平方向；

（5）假设人坐在椅子上，双手放在把手上，脚刚好接触地面；

（6）假设椅子质量均匀分布；

（7）假设椅子底座与地面接触面积为圆；

（8）靠背，重力分布沿线性变化；

（9）座位，重力分布沿抛物线变化；

（10）总的重心坐标不超过底盘圆半径。

3 符号说明

对本文需要的符号进行如表1 说明。

表1 符号说明

4 问题分析

4.1 问题一分析

针对问题一，见图2 以靠背与水平坐垫交线的中点为坐标原点建立座椅侧面的平面直角坐标系，根据力学原理确定重力在转椅靠背的面上的分布情况，确立座椅靠背的重心坐标，在转椅靠背摆动的过程中，靠背的重心坐标也随之变化，使用重心计算公式，计算出在椅子靠背转动的过程中，重心位置与倾斜角的函数关系，以此来描述椅背的动态变化情况。

图2

4.2 问题二分析

针对问题二，随着生活水平的提升，我国的男女超重率为63.06%，肥胖率19.82%[3]同时综合考虑通过使用人体结构与“0.618 黄金分割率”[4]将人的身体分为两个部分，上半身体重占人体总体重的38.2%，下半身占人体总体重的61.8%。在座椅材料密度为1150kg/m3的情况下，得出靠背重心与体重m1、倾斜角度β 的关系，随着倾斜角度β 的变化，整体重心的投影恰好落在底盘支撑面边缘时，为转椅歪倒失稳的临界点。当坐着身高H=175cm，体重m1=70kg，体型正常的人时，失稳时x=-0.05，此时的倾斜角度，即为转椅能倾斜的最大角度。以物体向某方向翻倒的最大倾斜角的正切函数值来定量描述物体稳度。在BMI 值为22 且转椅靠背处于最大倾斜角度的情况下，利用约束条件可求出转椅稳度的取值范围。

在问题一的基础上，随着靠背角度的变化，确定转椅整体的重心在直角坐标系中的位置。当重心在地面上的投影落在底座形成的支撑面内，此时转椅处于稳定状态，不会发生侧翻。当重心在地面的投影落在支撑面边缘上，此时转椅靠背倾斜的角度为最大值。在倾斜角度最大条件下，引入稳度条件，以此来计算最大承载体重。

5 模型建立

5.1 立体模型平面化

以转椅侧视图为基准面，靠背和坐垫的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，各线段长度与角度，见图3 所示。

图3

5.2 力的分布平面化

设转椅材料厚度为1。

靠背质量：m2=ρ×b1×b2×1

坐垫质量：m3=ρ×a1×a2×1

整体重心 （x，y，z）

根据人体黄金比例：0.618，将人体的各部分质量按如表2 的比例分配：

表2

转椅整体的受力分布分为5 个部分：转椅靠背和坐垫产生的重力沿各自长度方向均匀分布；靠背所受人体背部产生的外力的大小，沿靠背长度方向呈线性分布；坐垫所受人体下部产生的外力的大小，沿坐垫长度方向呈抛物线分布；把手所受手臂产生的外力大小，沿把手长度方向均匀分布。分布情况见图4。

图4

转椅各部位荷载集度见表3。

表3 转椅各部分载荷集度

表4 各部分重心位置及合力符号表示

5.3 模拟坐垫的重心位置

5.4 问题一求解

根据重心计算公式：

5.5 问题二求解

根据重心计算公式：

式中ρ 根据大量常规使用材料的密度数据，确立ρ=1150kg/m3

随着倾斜角度β 的变化，整体重心的投影恰好落在底盘支撑面边缘时，为转椅歪倒失稳的临界点，即x=a1/2-R。当坐着身高H=175cm，体重m1=70kg，体型正常的人时，失稳时x=-0.05，此时的倾斜角度，即为转椅能倾斜的最大角度。

计算得出：βmax=157.84°

影响转椅稳定性的因素：重心位置。

重心的高度：越低越稳定。

重心的垂线是否落在转椅底盘与地面接触形成的支撑面范围内：越靠近支撑面中心越稳定；支撑面越大越稳定。

支撑面上物体的稳定程度叫做稳度，以物体向某方向翻倒的最大倾斜角的正切函数值来定量描述物体稳度。η=r/h，其中η 表示物体在某方向的稳度，r 表示这一方向的翻转半径，h 表示重心距离水平面高度，稳度η 与翻转半径r 成正比，与重心高度h 成反比。

根据中国成年人人体尺寸见表5。

表5 中国成年人身体尺寸

膝高比例取平均值α=29.28%，身高体重按照体质指数BMI 为22 来测算：

当身高H=175cm，体重m1=70kg 的人坐着时，此时稳度η1=R/（y0+αH）,为了保证在最大角度时保持转椅的稳定性，给出如下约束条件：

联立以上求解可得：m1≤67.33

即转椅位于最大倾斜角度βmax时，保持稳定性的情况下，所能承受的最大体重为：67.33kg。

6 模型总结

6.1 模型优点

（1）本文模型基于力学受力分析以及平面直角坐标系，模型的结构简单有效，与实际产品的稳性，承重能力联系紧密。

（2）本文引入稳度，重心等参数，在约束条件下计算出问题的求解。该方法通过合理设置参数，从而避免结果发生局部最优的情况。

（3）将座椅受重分为多个部分，独立分析各部分的受力特点以及重心变化规律，使得求解更加贴合实际。

6.2 模型缺点

（1）在建模过程中，过度简化了人体各部位的重量分布情况。

（2）本模型的构建，主要通过受力分析以及数据分析两种方法，数据的总量小，模型的普适性较差。