四川 陈泽刚 杜海洋

实行新课改以来,一线教师为改变以往的低效教学，不断尝试新的教学方法.近几年,微专题教学盛行,普遍做法是将学习中的重点、难点进行同类堆积，所选例题大都来源于一些辅导资料书或网站上选题，进而集中讲解,以期提升这类试题的得分率.殊不知，这样只会让学生产生严重的挫败感，尤其是新授课章末微专题，这类试题往往脱离学生的“最近发展区”,学生对这类试题的参与积极性也不高,从而造成很多试题一带而过，学生理解问题似是而非,效果大打折扣.微专题的“题”的质量直接影响教学效果，因此,对于微专题选择的“题”应慎重，要结合学生的实际情况，逐步提升.

1.问题诊断，确定主题

微专题教学依然离不开解题，谈到解题历来是课堂教学的重点、核心.教师常常把注意力集中在“题型”及其技巧上，而且往往把技巧直接告诉学生,然后让学生再通过模仿训练记住技巧，而对技巧的来龙去脉则语焉不详,实际上，技巧往往是“可以意会不可言传”的，就像专业运动技巧、魔术表演技巧等一样,需要经过长时间的、枯燥的千百次重复.例如笔者发现递推数列通项公式的题型总结，因为二十世纪八九十年代，由于高考常常出以递推数列为背景的压轴题，所以对递推数列的题型总结也成了重点关注考向，但因为控制难度、纠偏等,递推数列在高考中又渐渐销声匿迹了，所以教学中也鲜少讲解.但近几年这个问题又热闹起来,于是递推数列的题型及其解题技巧又再次成为关注热点.在递推数列的代数变换中,由于涉及“巧法”较多,而这些确实是学习的难点,因此教师在技巧上大做文章,并总结以下典型题型：

(1)构造法/待定系数法

具体分为四大类：常数型、一次多项式型、二次多项式型、指数型.

例如常数型：形如an+1=pan+q(p,q为常数且pq≠0,p≠1)，构造等比数列{an+k}.

(2)取倒数法

(3)特征方程

形如an+2=pan+1+qan(p,q为常数,q≠0)的数列型.

教学上发现大部分是题型套题型，题型何其多，数列问题也逐渐成为题型的杂乱无章的堆砌.讲授时教师只是把这些题型及方法技巧强加给学生，没有对解法的来源有任何交代，使学生不能理解，只能依葫芦画瓢，结果是在以后遇到稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活运用数学知识解决问题的能力成为“泡影”.在高考中出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的局面.

2.课本“题根”，建构模式

美国著名教育心理学家加涅曾经指出，“教学的目的是帮助人们学习.”微专题的主题确定后,接下来就是进入起始问题的设计环节.起始问题的作用是在唤醒学生在已有认知的基础上建立起与目标问题联系的桥梁,从而为后续的学习做好必要的思维铺垫.因此，起始问题的设计应该回归教材，回归到思维的起点，其中支撑专题的“题”是核心.本专题可以这样设计：利用学生最近发展区，笔者发现以上题型大多都在课本找到其“母题”，笔者将课本2007年人教A版新课标教材必修《数学5》出现的相关类型“母题”进行归纳组合，为了便于说明，下面标注为引例，列举如下：

【引例1】(课本30页递推数列定义)如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1,即an=2an-1+1(n>1)，…,其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式.

【引例3】(课本33页习题2.1A组第4题)写出下面数列{an}前5项;

答案：略

【引例4】(课本34页习题2.1B组第3题)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出.

(1)写出这个数列的前5项；

答案：略

如果教师以课本题型作为素材，这样能够利用学生最近发展区，并且教材在例习题的设置上精挑细选，特别是例习题的选择顺序上，有很好的示范性和导向性，尤其对思维的螺旋式上升培养极佳，下面笔者仅以课本递推数列定义，即引例1所举例进行变式逐步探究，以飨读者.

3.变式探究，内化提升

变式1:已知数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1(n>1且n∈N*)，求an.

教学过程设计:

这是一个递推数列问题.一般地，抽象问题具体化，一般问题特殊化是数学中采用的基本策略.因此，先考查几个特殊的具体问题，以便从中找到思路.

设计意图:本例题源于课本引例1的改编，体现了用课本素材及方法研究通项公式的基本方法.本题是解决后面变式题的关键,分析一下这个递推公式，如果没有“1”那么这个通项公式就简单了.但式子结构an-1的系数为2，我们容易观察出其结构特点，并可以采用“凑”的办法即两边同加1，将数列化归为等比数列，即an+1=2(an-1+1)，则数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，即an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1.

变式2：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

答案：an=2n+1-3

设计意图：主要是为了巩固变式1中获得的方法，由变式1可知，等式两边同加3，转化化归为等比数列.

变式3：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+t(t为常数),求an.

设计意图：在变式1,2的交流探讨中，学生感悟这个问题的构造技巧方法，这里t是将问题一般化，通过变形,等式两边同加t，即an+1+t=2(an+t)，对引出“待定系数法”很有启发.

变式4:已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+1，求an.

设计意图:在前面几个问题的铺垫下，这一问题的解决已经水到渠成.通过从特殊到一般地引导学生发现这类问题的结构特征，让学生通过独立思考而得到这类题型的一般解法，即问题的本质为结构转化.

设计意图:对前面待定系数法进行巩固，为后面取“倒数”型作铺垫.

设计意图:本质与变式5一样，继续为取“倒数”型作铺垫，层层递进，给学生“搭台”，即所谓“跳一跳，摘得到”.

设计意图：对比变式6，将变式7两边取倒数转化为变式5的类型，通过以上几组简单变式，使学生感觉方法的“合情推理”结果，即在建立学生已有的知识和方法的基础之上，自然生成.

4.迁移运用，拓展思维

为了实现在微专题教学中“做一题，通一类；得一法，通一遍”的学习效果，还需要老师提供类型更丰富的题型，以便学生能够把所学到的方法迁移到其他问题中，在体会方法的普遍性，使学生的思维得到进一步的拓展.

由以上推导可知，数列结构特征是变式的核心，有了以上思维策略，下面我们来探究引例5.

【引列5】已知数列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)对于这个数列的递推公式作一研究，能否写出它的通项公式？

5.教学建议

数学微专题是通过题来发现学生存在的问题，通过题搭建思维的“桥梁”，通过题来获得新的思想方法，一连串的相互关联的题就形成了一张“良方”，专门治疗思维的“疑难杂症”，建构良好的认知结构，促进学生深度学习.因此,选题要具备主题性与针对性，凸显认知策略，以“易于学生理解”的方式呈现出来，使学生的学习成为一种“再发现、再创造”的过程，这是数学微专题设计的核心所在.

在教学中，利用学生最近发展区，从课本例习题出发，进行变式教学，无论从方法还是内容上都起着“固体拓新”之用，可收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，同时可培养学生提出问题和解决问题的能力，并使学生的探究能力和创新能力得到发展.