甘肃 张建文

核心素养是新课改的主要目标，在数学学科教学中力求提高学生的思维能力.数学核心素养的落实在常规课堂中的“渗透”，需要在知识生成过程中设置恰当的问题情境来引导学生思考，促进学生思维能力的发展.在设计层面，需要教师研究本部分知识所要培养的数学核心素养，了解学生知识基础，在此基础上创造性的设计单元教学设计以及具体的课时设计安排.高质量的问题情境能更好地激发学生的思维，促进学生进入理性思考，使得学生会学习，爱学习，从中享受到学习的快乐,进而达到培养数学核心素养的目的.

问题情境主要有科学情境、数学情境和现实情境.问题情境的设计，需要以素养为目标，以学情为基础，以知识的逻辑结构为原则，教师结合自己的教学风格，创造性的设计形式多样的符合学生身心发展的问题情境.问题情境的设计在不同的知识模块或是不同学情的学生中也有所区别.在一般情况下，让多数学生感到困难的知识和逻辑性较强的内容，教师应着力设计各种问题情境加以突破，教学中的问题情境创设应该围绕重点和难点进行有效展开.在问题情境设计过程中，教师应遵循一定的规律，下面笔者就谈谈课堂教学中问题情境的创设规律.

根据授课类型和教学内容的不同，有新授课、复习课、总结课、实践探究课、习题讲解课和试卷讲评课等.不同的课型可能只适合某一个或某几个特性的问题情境，例如新授课中的概念教学就适合层次递进性的问题情境，新授课中的定理或公理的教学就适合总结归纳性和演绎精致性的问题情境，绘图教学就适合操作指引性的问题情境.习题讲解课就适合变式延伸性的问题情境，理解角度多样化的学习内容就适合开放发散性的问题情境，总结课就适合总结优化性的问题情境等等.无论如何，教师在创设问题情境的时候要考虑课型、授课内容和授课环节的适宜性，力求创设的问题情境适宜而高效.

1.层次递进性

问题情境的创设目的就是启发学生进行独立思考，要达到启发的状态就需要对学生思维进行渐进式引导,所以层次递进性是问题情境创设的重要特性.层次递进性就是指在问题情境创设时，从知识本身的逻辑结构和学生接受程度看，按照由易到难、由浅到深、由少到多、由表及里、由现象到本质的顺序设计系列问题.系列问题一般由多个问题组成，前面的问题是后面问题的前提，后面的问题是前面问题的深入，只有解决了前面的问题才会深入到后面的问题，系列问题层次递进有序发展，促使学生的思考强度逐渐加强，使得学生始终处于思维运动当中，不断进行自我知识结构的构建，形成良好的学习习惯和思维习惯.

教学案例1.《方程的根和函数的零点》问题情境设计片段

师：在初中，我们怎么求解两个一次函数，即求y=k1x+b1与y=k2x+b2图象的交点？

师：如何求解函数y=f(x)和y=g(x)图象的交点呢？

师：从几何角度看，如何求解方程f(x)=0根的个数问题？

生：可以绘制函数y=f(x)的图象，观察其与x轴的交点个数.

师：从几何角度，如何求解函数y=f(x)-g(x)的零点呢？

生：绘制函数y=f(x)-g(x)的图象，观察其与x轴的交点个数.

师：还有其他解决方法吗？

生：绘制函数y=f(x)和y=g(x)的图象，观察其交点个数.

设计评价：此例是以方程的根和函数零点为载体进行设计的，先由两直线的交点入手，提出两个函数图象的交点问题，引起学生的认知冲突，进而引导学生从几何角度理解函数的零点个数问题，再引导学生对方程结构进行变形，用两函数图象的交点问题解决复杂问题.这种问题情境设计在难度上逐渐增加，层层递进，将学生的思维引向深处,使得学生能够体会到从简单到复杂的变化过程，逐渐培养学生的核心素养.

2.演绎精致性

创设问题情境依赖于学生的理解困惑，旨在解决学生在认知和思维上的盲区.数学命题的教学中一条很重要的环节就是对得到的数学命题进行多角度分析理解，从命题结构、条件特点、结论及其之间的关系等角度分解与重组.演绎精致性是指从数学命题的结构、条件、结论及其之间的关系出发，按照逻辑演绎的关系由一般到具体进行逐层设问.通常将变量具体化、变量代换、结构重组以及推论等形式，就是将高度抽象的数学命题变换得更加具体和直观.一般地，先从具体数值开始设问，逐步到变量代换，让学生经历由一般到特殊，再到一般的思维过程，从结构上体会并深刻理解数学命题的特点.

教学案例2.《正弦定理》问题情境设计片段

师：从结构上看有什么特点？

师：三条边之间的比值和三个角有什么关系？

生：根据公式的结构可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.

师：边之间的大小关系和角有什么关系？比如有a>b，角A,B有什么关系？

生：a≥b⟺sinA≥sinB，可以总结为大边对大角，小边对小角，等边对等角.

设计评价：正弦定理是解释三角形边角关系的重要定理，在理解定理的时候，先从具体数值开始进行方程运算，得到三角形的其他元素，体现了从一般到具体的演绎性设计思路，再从结构上进行分解观察，得到一般计算边角关系的小推论或小结论,最后从边的不等关系入手，引导学生观察得到角之间的不等关系.对公式和定理进行多角度创设问题情境，能使得学生对公式和定理的理解更加深刻.

3.操作指引性

问题情境是引导学生思考方向的重要指引，能为学生提供可靠的思考转折点.活动类数学课程或是绘图教学要求学生能够按照流程进行活动或绘制比较规范的图形.操作指引性是指基于绘图要求，在学生容易出错的地方和操作的关键步骤处进行设问，旨在促使学生把握绘图的关键步骤，形成良好的绘图习惯.设置的问题情境重在引导学生如何操作，对作图进行要求性设问，提醒学生进行自我反思，并对绘图结果能够进行有效检验.另外，在动态图形的绘制过程中，操作指引性的问题情境还能够促进学生进行直观想象，思考并体会动态变化过程.可以说操作指引性的问题情境是活动类课程的活动流程和绘图的操作说明书，是对整个过程进行方向性的把控，使得整个过程按预定方向进行.在促进学生数学抽象和直观想象核心素养的培养方面具有积极的作用.

教学案例3.《抛物线的性质应用》问题情境设计片段

例题:点P是抛物线y=-x2上的点，点Q是直线l:4x+3y-8=0上的点，求|PQ|的最小值.

师：你能画出抛物线和直线吗？

生：可以，如图，能够看出直线和抛物线不相交.

师：能否想象P和Q是如何运动的？

生：P在抛物线上自由运动，Q在直线上自由运动.

师：你能想象并在图中表示出P与Q最近的位置情况吗？

生：如图，通过观察想象，当P，Q大致在如图位置时，距离最小.

师：你能说说此时P，Q具有什么样的特点？

生：如图，此时有直线l1与抛物线相切于点P，且与l平行，过P的直线垂直l于点Q，此时|PQ|最小.

设计评价：直观想象核心素养的培养是在绘图教学中渗透实现的，如何在绘图教学中引导学生进行理性思考规范操作是落实核心素养的关键.抛物线是圆锥曲线中考查动态思想的重要载体，问题情境的创设既要体现作图的规范引导性又要促使学生想象动点的动态变化过程,在作图的关键位置进行提醒性设问，在动点的特殊位置进行分析转化.此例中促使学生作图以及确定P，Q在特殊位置处的几何条件是比较关键的.

4.选择区别性

创设问题情境在一定程度上要引导学生对研究对象进行必要的分析比较.分析比较寻找研究对象的异同是数学学习过程中的重要学习方法，教师要设计合理的教学环节促使学生对研究对象分析比较，培养良好的学习习惯.选择区别性是指基于研究对象和已有知识模型之间的相似性和延伸性，结合学生的认知冲突，引导学生进行比较、判断进而选择设问的特点.这种问题情境通常引导学生比较两个或多个数学对象的异同，区分它们的特点，使得知识点不至于混淆，或应用类比思想对数学对象进行研究.这样的问题情境能够极大地激发学生思维的连贯性，使得学生能够借助已有的知识去解决新问题，调动已有的知识储备，优化知识结构，从而更好地培养学生的学习习惯，培养学生的数学学科核心素养.

教学案例4.《指数函数的图象与性质》问题情境设计片段

师：我们已经学习了幂函数，你能说说指数函数与幂函数在解析式上有什么异同吗？

生：指数函数与幂函数的解析式都是幂的结构ab，指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的自变量在指数位置，而幂函数y=xα(α≠0)的自变量在底数位置.

师：回想幂函数的研究方法，我们怎么来研究指数函数？

生：根据幂运算基本不等式可以判断指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性：

(1)当a>1时，∀x1,x2∈R，且x10，所以ax2-x1>1，ax2>ax1.

故y=ax在(-∞,+∞)上单调递增;

(2)当00，所以ax2-x1<1，ax2

故y=ax在(-∞,+∞)上单调递减.

……(中间问题情境省略)

师：你能说说幂函数与指数函数图象的异同吗？

生：幂函数的图象依赖α的取值，分α>1,α=1,0<α<1与α<0四种情况，不同类型对应的函数图象和性质差异很大，而指数函数的图象依赖a的取值，分a>1与0

设计评价：知识与方法的迁移应用是学以致用的关键，而分析比较研究对象和已有知识结构的异同是实现知识迁移的前提.在学习了幂函数的性质之后，可以借用幂函数的研究方法来研究指数函数，这不仅是知识和方法的迁移应用更是思维习惯的培养，能促使学生思考借助已有知识解决更多的问题，包括生活问题等.此例中的问题情境创设旨在分析比较幂函数与指数函数的异同以及促使学生借助幂函数的研究方法来研究指数函数.在实施课堂教学时要从语言表情等方面表现出“引”的特点.

5.总结优化性

创设问题情境的一个重要功能就是优化学习方法，促使学生养成良好的思维习惯和学习习惯.数学知识的学习不仅要理解知识之间的逻辑结构，还要注意规范严格的书面表达.通过对数学知识和解答流程进行归纳总结，可以使得数学知识的记忆量得以精简，从而便于知识之间的整合迁移转化.总结优化性是指在学生经历了一定的新知识学习，从学法优化、知识精简和自我反思等角度出发而创设问题.这样的问题设计旨在引导学生进行知识梳理，或对解答流程进行回顾和再度深思，发现初始阶段理解的偏差性，并及时弥补，一般在课堂教学的后期进行.进一步来说，这样的问题情境需要对学生的状态有较为精准的把握，帮助学生进行深度反思并进行知识的再理解，优化学习方法等，对培养核心素养有不可替代的作用.

教学案例5.《第三章 函数的概念与性质——章末复习》问题情境设计片段

师：我们学习了函数的单调性，你能用简洁的语言说说函数单调性在图象上的特点吗？

生：从几何角度看，增函数的图象从左向右持续上升，减函数的图象从左向右持续下降.

师：从代数角度看，函数的单调性在数值变化角度有什么特点？

生：增函数的自变量与函数值的变化趋势一致，即x1>x2⟺f(x1)>f(x2)；减函数的自变量与函数值的变化趋势相反，即x1>x2⟺f(x1)

师：你能总结一下函数单调性的判断方法吗？

生：方法一(定义法)：对∀x1,x2∈I，且x1>x2，均有f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递增;对∀x1,x2∈I，且x1>x2，均有f(x1)

方法三(图象法)：二次函数单调性需要绘图观察，分段函数的单调性也需要绘图观察，含有绝对值符号的函数也需要借助图象来分析.

方法四(看函数结构法)：可简单总结为增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，

师：你能说说单调性的应用吗？

生：第一，利用单调性可以进行函数值大小判断；第二，可以解函数型不等式.

设计评价：本例是以函数单调性为载体进行总结优化性的问题创设，从定义角度进行最本质的总结；其次总结函数单调性的判断方法，这要求学生对做过的练习题进行过程梳理优化，提炼出判断单调性的共性；最后对函数单调性应用进行总结.在问题情境创设中，“用简洁的语言说说”意在引导学生要对函数单调性进行精简优化，抓住单调性的本质和关键特征，当然在具体教学过程中，要结合学生的学习基础对所提的问题进行更加具体的的表述，使得学生能够按照预设的教学节奏进行.

6.变式延伸性

创设问题情境的一个重要目标就是引导学生能够利用已学知识有效解决问题.解决数学问题是对知识进行巩固和再度加工的重要方式，在一定程度上，学习数学就是学习解决问题的工具和方法.例题是学生学习新知识之后遇到的第一类数学问题，需要教师进行讲授或引导思考.变式延伸性是指学生经过了例题的学习思考，对知识的应用有一定程度的理解，教师对问题条件、问题表述和设问方式等进行变式设问.这种问题情境能够促使学生对知识的理解更加全面准确，对知识的应用范围有边界性认识，能够达到“做一道，会一类”的效果，解决“会而不对，对而不全”的问题，进而提高学习效果，提高学生的思维质量.在实际教学过程中，这种变式训练要结合学生的学习基础进行创造性的设计，以保证学生学有所获，不同基础的学生都能够有符合自己实际的最大进步.

教学案例6.《抽象函数的对称性、周期性和奇偶性的相互转化》问题情境设计片段

例题：若定义在R上的函数y=f(x)的图象关于点A(a,0)对称，判断函数y=f(x+a)的奇偶性.

师：如果y=f(x+a)为奇函数，那么y=f(x)具有什么样的对称性？

生：若y=f(x+a)为奇函数，则有f(x+a)+f(-x+a)=0，即y=f(x)图象关于点A(a,0)对称.

师：若y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称，你能得出哪个函数具有什么样的性质？

生：若y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称，则f(x+a)+f(-x+a)=2b，即f(x+a)-b+f(-x+a)-b=0，所以y=f(x+a)-b为奇函数.

师：若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，你能得出哪个函数具有什么样的性质？

生：若y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(x+a)=f(-x+a)，所以函数y=f(x+a)为偶函数.

设计评价：本例是以抽象函数为载体进行变式延伸性的问题创设，通过将点(a,0)变换为(a,b)以及将对称点变换成对称轴来研究函数的奇偶性，这样的变式更有助于学生把握抽象函数在结构上的特点.另外，反向提问更能促使学生思考理解条件和结论之间的逻辑关系.一般地，对条件进行跨度不大的延伸或类型调整，更能促使学生理解知识应用的特点，体会不同条件带来的差异性，把握解题的流程和规范表达.

7.开放发散性

课改旨在培养学生的核心素养，要求学生不能机械做题，套用公式，而要多角度分析问题，发散思维，探寻多种方法解决问题.开放发散性是指基于一定的研究素材，从条件、过程和结论三个角度进行不限制的设问.通常有条件开放、过程开放和结论开放这三种方式，促使学生认真挖掘题目中隐含的条件，克服思维定式.研究载体一般都是以练习训练题目的形式出现，具有一定的综合性和拔高性,不但要求学生掌握常规解答方法还要创造性的思考问题解决的简便方法,对培养学生的创造性思维有很好的价值.在实际教学中，要定期为学生创造这样的思考机会，可以按照小组讨论的形式进行，重在激活学生思维，唤醒学生的灵感，教师的设问方式要体现出鼓励和引导的特点.

教学案例7.《二项式定理与杨辉三角》问题情境设计片段

师：观察如图所示的杨辉三角数阵，你能继续写出第八行的数吗？

生：1，7，21，35，35，21，7，1.

师：你能看出每一个数字和它上方两个数字之间的关系吗？

生：数阵中的每个数字等于它上方两数字之和.

师：横向看，一行数字有什么特点？

生：每行数字左、右对称，由1开始逐渐增大，再逐渐减小到1.

师：你能看出行数和该行数字的个数有什么关系吗？

生：行数和该行数字个数相等.

师：每一行数字的和与行数有什么关系呢？

生：第n行的和为2n-1.

师：(a+b)n的展开式中各项系数与杨辉三角有怎样的关系？

生：(a+b)n的展开式中各项系数对应杨辉三角第n+1行中的每一个数字.

设计评价：本例是以杨辉三角数阵为载体，培养学生的发散性思维.在列出数阵之后，经过学生的分析，教师从横向、纵向以及求和等角度去引导学生得出结果，教师提出的问题之间没有明确的逻辑关系，思维之间的跨度比较大，体现出思维发散的特点.在实施教学的过程中，教师要注意观察学生的思维状态，使得学生思维时刻保持在活跃的状态，这是培养学生创新思维的良好契机，对学生的长远发展具有积极的作用.