顾丽英

【摘 要】在数学学习中，学生可以变得更加聪明，究其原因是数学学习可以引导学生在建模的视角下去观察事物，这样可以更加便于学生抓住事物的本质。这也是数学建模思想的建立在数学教学中的价值所在。本文以“正比例图像”教学为例，借助操作让学生在将实际问题抽象成数学模型的过程中进行解释和应用。教学中，教师既要引导学生从“境”到“型”，又要引导学生从“型”到“境”，让学生经历真实的探究过程，在“境”和“型”之间实现自由转换。

【关键词】数学模型 图像 教学

本文以苏教版数学六年级下册“正比例图像”一课教学为例，在数学模型视角下，从不同角度创设情境，让学生从感知平面坐标系模型到感受数的二维表达方式，再到感悟平面坐标系模型的形成过程，从中学会从数学的角度分析问题、解决问题，从而达到架构数学新知结构、提高数学思维能力的目的。

一、亲历画图，在由“数”到“型”的演绎中建立正比例图像模型

学生的“已有经验”在学生的认知过程中起着非常重要的作用。在教学中，教师要充分了解学生原有的生活经验及数学知识基础，要采取各种有效的手段唤醒学生已有的经验储备，并在这个基础上引导学生建立数学模型。对于小学生来说，关于数学知识的学习大多数建立在已有生活经验的基础之上。在实际教学中，教师要善于捕捉学生的生活经验中有利于学生学习新知的素材，然后以此为资源创设情境，让学生自主学习。这样，教师就能够帮助学生顺利建模。

小学阶段，教材中对于“正比例”的概念是用具体的实例来进行描述的。其中蕴含了函数概念的两个重要特征：第一，两个变量是相互联系的，一个变化时，另一个也随之变化;第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值也就唯一确定。因此，在“正比例图像”一课的教学中，教师必须关注以下三点：（1）在一个变化的过程中，有两个变量;（2）这两个变量存在一定的关系;（3）这两个变量存在单值对应关系。从学生的认知特点出发，教师可以选取典型的具体实例，再由数到形，带领学生进行自主探索，引导归纳、概括等活动。

（一）运用生活实例情境，引导学生感受数的二维表达方式

师：同学们，看！“水涨船高”这个词语你们见过吗？谁愿意来分享一下你的理解？

生：水位升高，船只就会随着抬高。这是生活中两个相关联的事物的实例。

师：其实，数学中也有这样的例子，两个相关联的量，比如路程和时间，你能说说它们之间的关系吗？

生：时间越长，路程就越长。

师：你能举个例子吗？

生：比如速度为每小时80千米的汽车，行驶1小时，路程是80千米;行驶2小时，路程是160千米;行驶3小时，路程是240千米……

[出示几组路程与时间相对应的比，算出比值，引导学生观察、比较，发现比值不变。

路程/时间=速度（一定），得出结论：行驶路程和时间成正比例关系]

生：比如购买单价为20元的笔记本，购买1本，总价是20元;购买2本，总价是40元;购买3本，总价是60元……

[举例几组相对应的总价与数量的比，求出比值，通过比较同样可以发现，比值不变。

总价/数量=单价（一定），得出结论：总价和数量成正比例关系]

师（小结）：两种相关联的量，它们的比值一定，我们就说这两种量成正比例关系。

（二）运用趣味故事情境，引导学生抽象平面坐标系模型

师：我们已经从“数”的角度（见表1）研究了正比例的意义，其实，我们还可以从“形”的角度来研究这个正比例关系。

师：我们知道，数学中的每一个数都可以在数轴上找到相对应的位置点。比如，在这条数轴上，我们可以这样表示1、2、3、4、5、6、7、8小时。（见图1）

师：那么，我们刚才研究的表格里每列里的两个数能在这样的数轴上用一个点来表示吗？

生1：用一条数轴表示，似乎有点不清晰。

生2：我们能从两个维度来思考吗？好像有点难度。

师：著名的数学家笛卡儿小时候也遇到了这样的难题，我们来看看他是怎么解决的：

有一天，笛卡儿生病在床，心中却在思考着数学问题：如何把数和点联系起来？突然看见屋顶角上有一只蜘蛛，拉着丝垂下来，一会儿工夫，又慢慢地顺着丝，爬了上去，在上边左右拉丝。看了“蜘蛛”的表演，笛卡儿思路突然豁然开朗，能不能用两面墙的交线来确定位置呢？于是，他画了两条互相垂直的数轴，并在这个区域画上很多的交线，这就是笛卡儿的平面坐标系。（见图2）

师：我们就可以用横轴来表示“时间/时”，用纵轴来表示“路程/千米”。

生：在坐标图中用一个点表示是两个数量。

师：把表格里的所有对应的两个数都用点表示出来。（见图3）你发现了什么？

师：是的。每个点都是表示一组对应的数量，而且它们的比值都是80。

我们说，数学模型的建构不仅需要量的积累，还需要型的感悟。在以上的学习过程中，教师引导学生从一维到二维，从“算术知识”逐渐向“代数知识”的转变，这是学生从理解“数量”到探索“关系”的明显转折点。从“数”到“型”的转变，其实已经可以让学生感受到从“静态”到“动态”的转变，为数学模型的构建奠定扎实的基础。

二、比较分析，在“离散”到“连续”的递进中理解正比例图像的模型

师：同学们，这里的点如果连起来，想象一下，会怎样？（见图4）

（生畫一画）

师：这些点都在一条直线上，我们来找这条直线上的任意一个点，你能来说说它表示的含义吗？

师（小结）：我们从图中可以发现，这些点都在这条直线上，而且，我们读图还可以发现：时间增加，路程也随之增加，这个和表格中呈现出来的规律是一样的。在这样的图上，我们既能看出每个点相对应的一组数据，又能看出时间与路程这两个相关联的量的变化是有规律的，更能感受到每一个点所对应的路程与时间的比值是固定不变的。所以，我们可以确认这是正比例图像。

师：回顾一下我们是怎样形成这幅正比例图像的。

生：横轴找点画垂线，纵轴找点画垂线，相交描点再连线。

师：在这幅正比例图像中，除了能找到6组对应的数量，还能找到其他对应的数量吗？比如，汽车1.5小时行驶了多少千米？你是怎么看出来的？

生：我先在横轴上找到1.5小时的位置，再在直线上纵向找出所对应的点，并且从这个点出发，横向找到纵轴上的对应点，是120千米。

师：那么280千米呢？（行驶280千米需要多少小时？）

生：可以先在纵轴上找到280千米，横向找到直线上对应的点，然后从这个点出发，纵向找到横轴上对应的点，是3.5小时。

师：还能这样继续找下去吗？可以找到多少个？

生：无数个。

师（小结）：确实，这条直线上有无数个点，能找到无数组和它们相对应的数量以及他们之间的关系。

师：既然如此，你们能把下面两张表格里的数量（见表2、表3）画在下面坐标图中（见图5、图6）吗？

师：看了这两张图，你有什么发现？

生：前面表格中每一组数据图的每一个数据对应的点都在一条直线上，后面表格中每组数据对应的点，不在一条直线上。

师：这说明什么？

生：前面表格中的路程和时间成正比例，后面表格中的路程和时间不成正比例。

师：你为什么这么说？他们不都是一个量在变化，另一个量也随之变化吗？

生：比值不一定。（计算，确认，见表4）

师（小结）：两个相关联的量，比值一定，对应的点在一条直线上，路程和时间成正比例;比值不一定，对应的点不在一条直线上，路程和时间不成正比例。

师：如何修改，这两个量能成正比例。（见表5）

师：我们把三张正比例图像合并在一起（见图7），你又能发现什么？

生1：①号、②号、③号都是直线，行驶路程随着时间变化而变化，而且行驶路程与时间相对应的比的比值是一定的，路程和时间都成正比例。

生2：三条直线，③号比①号平一些，②号比①号陡一些。

师：这是什么原因呢？

生：比值不同，其实就是速度不同，比值越大，速度越快，直线就越陡;比值越小，速度越慢，直线就越平。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征关系所形成的一种数学结构。模型思想和数形结合思想是用函数研究变化问题过程的共同思想，函数建模的实质是建立刻画运动变化过程的数学模型。在这个环节中，教师通过笛卡儿的故事引出直角坐标系，让学生感受像数学家那样探究数学知识的过程，再通过引导学生描点，在坐标系中找每一组数对应的点，连点成线，让学生形象地体验到，在图像模型中，我们不仅可以看到每一个点都表示一组对应的数量，而且因为每一组数量的比值是一定的，所以，所有的点都在一条直线上。随着数学表象不断丰富，学生便能够开展自主探究，在这样的探究过程中其数学建模思想也将得到发展。

三、读图应用，在由“型”到“数”的具象中深化正比例图像模型

师：刚才，我们在坐标系中画出了三组成正比例关系的量，并且知道了直线上每一个点都有一组路程和时间与其一一对应，那么，你能根据图像，找出相对应的量吗？

（学生找出后，互相核查）

师：这样的直线除了可以表示路程与时间成正比例，你觉得还可以表示怎样的两个成正比例的量。

生1：总价与彩带的米数。

生2：打字的总量与时间。

生3：朗读的字数与时间。

生4：总价与足球的个数。

生5：总价与象棋的盒数。

师：请你选择一组成正比例的量，并且列举数据，在坐标系中画出图像。

（学生画图像，交流）

任何一个数学模型的建构都需要数学的语言符号的支撑。语言符号作为数学语言的表象符号，它本身就是人类理性思维的产物，间接性、抽象性、概括性等都是它的特点。当学生心中的正比例函数的图像模型已经建立时，教师需要做的就是引导学生如何读图，如何用数学的语言来解读正比例图像模型。

通过画正比例函数图像，学生就可以看出图上的每一个点都表示路程和时间的对应数量。教师进而启发学生进行思考，符合这一变化规律的表示路程和时间的对应点一定在图像上。所以，根据图像，我们就可以估算任何一个时间对应的路程，或者根据路程就可以估算任何路程对应的时间。这样，根据正比例图像进行估算的实践应用，可以引导学生进一步感悟在数量关系中自变量与因变量对应的思想。

学生透過图像看到了成正比例的图像的本质，并用语言表述。这是学生构建函数图像模型过程中最高层次的理解。

综上所述，数学建模不仅是一种数学学习方法和策略，还是一种数学学习思想。借助操作，教师可以让学生在将实际问题抽象成数学模型的过程中，进行解释与应用。教学中，教师一定要引导学生从“境”到“型”，再引导学生从“型”到“境”，在这样真实的探究过程中，引导学生经历“境”和“型”的自由转换。