司徒健文

(广东省开平市开侨中学)

基本不等式是高中数学中一个非常特殊的知识点,经常用来解决比较大小、求解最值、证明不等式等相关问题,是历年高考数学试卷中常见的一个考点.在利用基本不等式解题时,有些题目可以直接利用基本不等式求解,但多数题目需进行必要的变形才能利用基本不等式求解,所以掌握一些常用的变形技巧与破解策略是很有必要的.

1 巧构项数

例1(2021年天津卷13)若a＞0,b＞0,则的最小值为_________.

分析根据题目条件中所求代数式的基本特征,合理拆分,巧构项数,利用基本不等式处理,进而得以确定代数式的最值.

解由于a＞0,b＞0,利用基本不等式可得

抓住题目所求代数式的基本特征与结构类型,合理拆分,或分步,巧构项数,利用基本不等式解决一些相关的问题.解决问题的关键就是巧构项数,保留参数,正确确定最值.

2 配凑常数

例2设a＞0,b＞0,且2a＋b＝1,则( ).

分析结合题目条件,利用双变元代数式的和恒为1,借助常数“1”的恒等代换,对代数关系式进行合理配凑处理,通过两代数式积为定值的条件,根据基本不等式来确定对应代数式的最值问题.

解由于a＞0,b＞0,且2a＋b＝1,根据基本不等式可得

在利用基本不等式解决一些相关的数学问题时,配凑常数是解决问题的关键.特别地,例2中巧妙地代入常数“1”是破解此类问题的关键所在,也是利用基本不等式确定最值的常用技巧.

3 巧妙分离

例3函数f(x)＝的值域是________.

分析结合函数解析式的绝对值处理,通过代数式的合理拆分,巧妙分离,构建满足基本不等式的条件,进而利用基本不等式放缩,通过求解含有绝对值的不等式,确定对应函数的值域.

基本不等式法为最值的求解提供依据,是破解一些涉及函数、代数式等最值问题或取值范围问题比较常用的一种方法.

4 整体代换

例4已知实数x,y满足x2-2xy-3y2＝1,则x2＋y2的最小值为( ).

分析对题目条件中的二次方程所对应的代数关系式进行因式分解,引入参数,通过双变量整体代换处理,求解方程组,用含参关系式来表示x,y,再代入所求解的代数关系式,最后利用基本不等式确定对应代数式的最值.

在解决双变元代数式的最值问题中经常借助双变量问题中的和恒为定值或乘积恒为定值进行整体代换处理,为进一步利用基本不等式提供保障,也是破解问题的关键.

5 平方转化

例5若x,y∈R*,(x-y)2＝(xy)3,则的最小值为_________.

分析对题目条件中给出的代数关系式进行合理变形,结合所求代数式的平方展开,合理代换处理,并利用基本不等式确定最值问题,最后通过求解二次不等式确定对应代数式的最值.

本题通过合理变换题目条件中的代数关系式,再利用基本不等式求解.

6 消元处理

例6已知正数x,y满足x＋4y＝x2y3,则的最小值为________.

分析将条件的关系式转化为关于x的方程,利用求根公式求得x,代入所求的代数关系式进行消元处理,利用基本不等式确定相应的最值.

解由x＋4y＝x2y3,得y3x2-x-4y＝0,由求根公式可得

解决一些比较复杂的双变元代数式问题时,经常结合代数式的结构特征加以消元处理,将问题转化为只含有一个参数的代数式问题,利用基本不等式法来转化与处理,进而得以解决问题.

利用基本不等式解题时,要合理构建符合基本不等式中等号成立的条件,对题目中相应的代数式进行合理化归与转化,再利用基本不等式,从而有效开拓解题思路,活跃数学思维,提高数学能力.

(完)