潘小峰 聂振荣

(1.江苏省外国语学校 2.南京师范大学)

高中阶段经常会碰到构造数列递推求概率的问题,这类问题往往都是基于上一步的情况,探讨下一步情况,如直线分割区域、传接球、涂色等问题.许多问题都可以归结为求某个数列的通项公式,而直接求数列的通项公式往往较困难,此时可考虑求该数列通项的递推关系,然后解这个递推关系,如果能顺利完成这两个步骤,则问题就得到了解决.建立递推关系进而解递推关系是解决组合计数问题的常用方法.

在构造数列递推关系时,高中阶段往往按照分类加法和分步乘法原则列式,其本质就是全概率公式,下面首先介绍全概率公式.

设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个分割,如图1 所示(阴影部分为事件A),即B1,B2,…,Bn互不相 容,且＝Ω,如 果P(Bi)＞0,i＝1,2,…,n,则对任一事件A有P(A)＝

图1

注意,若将条件B1,B2,…,Bn为样本空间的一个分割改为B1,B2,…,Bn互不相容,且,此公式仍然成立.

观察到全概率公式类似于条件概率公式,故可由条件概率进行推理证明.

将P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi),i＝1,2,…,n代入上式即证.

全概率公式中最简单的形式:若0＜P(B)＜1,则P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(¯B)P(A|¯B),即通过一组对立事件对样本空间进行分割.我们不妨来将其运用到摸奖模型中,在摸奖券过程中,我们经常会考虑摸到的机会是否会与自身所处的前后位置有关.

例1设n张彩票中有1张奖券,求第二个人摸到奖券的概率是多少?

设Ai表示事件“第i人摸到奖券”,i＝1,2,…,n.我们知道事件A1是否发生会直接影响到事件A2发生的概率,即

这表明摸到奖券的机会与先后次序无关,后者去摸奖可能处于有利状态(即前者没有摸到奖券,从而增加后者摸到奖券的机会),或后者处于不利状态(即前者已经摸到奖券),以上两种情况是用全概率公式进行加权平均所得结果,从中发现机会是均等的,这对于摸奖的参与者是合乎情理的.用类似的方法可得P(A3)＝P(A4)＝…＝P(An)＝.这说明当购买彩票时,无论购买顺序如何,中彩机会是均等的.

下面来看看先构造递推关系再运用全概率公式求概率的应用.

例2甲口袋有1个黑球,N-1个白球,乙口袋有N个白球,现从甲、乙口袋中各取一个球交换放入另一口袋,求交换n次后,黑球仍在甲口袋的概率,并讨论n→∞时的情况.

针对上述例题,记An表示第n次之后黑球在甲口袋表示第n次之后黑球不在甲口袋,记pn＝P(An),由全概率公式得

通过调整黑球个数,探索全概率公式的进一步应用.

例3(2020年江苏卷理23)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.

(1)求p1,q1和p2,q2;

(2)求2pn＋qn与2pn-1＋qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).

(1)略.

(2)若第n次交换后甲口袋中有2个黑球,则第n-1次甲口袋分为两种情况:有2个黑球或只有1个黑球.若有2个黑球,则乙口袋全是白球,此时甲口袋只能抽出白球与乙口袋白球交换;若只有1个黑球,此时甲口袋只能抽出白球与乙口袋中唯一的黑球交换.由全概率公式可得

若第n次交换后甲口袋中有1个黑球,则第n-1次甲口袋分为三种情况:有2个黑球、1个黑球或没有黑球,同上由全概率公式可得

表1

通过上述解析发现,全概率公式已经在高考题中有所体现,由于此题考虑了2个黑球、1个黑球和没有黑球这三种情况,故不能使用全概率公式中最简单的形式.因此在使用公式时需要将可能诱导最终基本事件发生的所有可能因素考虑完整,不可遗漏.近年来,概率论与其他学科不断交叉融合,发挥着不可替代的作用,概率论学科逐步走向数学的前沿,而且引领着数学科学的发展.高中概率主题内容是高中数学课程的基础内容,在发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算等核心素养方面有着重要的作用,数列又是离散的函数,对于学生进一步理解函数,理解迭代思想起了重要的作用.高中新教材中,将概率知识与数列知识相融合,创造了新的交会问题,对学生的综合能力提出更高的要求,教学中要引起重视.

(完)