林心如 (福建师范大学附属福清德旺中学高一(1)班 350319) 指导教师 周 宁

函数的对称性问题在教材中没有直接作为授课内容呈现，而是以课后习题形式出现，并且是通过转化为函数的奇偶性加以解决．那么，是否还有其他的方式进行求解？本文进行了以下的探究．

1 试题与分析

问题我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．

(1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心；

(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论．

分析 这道题是人教A版必修第一册第87页“拓广探索”栏目的最后一题，有一定的难度，主要体现在对背景知识的理解和代数运算．根据题意，要将题目的对称性转化为函数的奇偶性．不妨设y=f(x)图象的对称中心为(a,b)，则问题等价于y=f(x+a)-b为奇函数，利用奇函数的函数关系式可得，f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0，再将f(x)=x3-3x2代入求解．为了减少计算量，可以考虑先取特殊值(比如x=0，x= -1)求解出对称中心的坐标，再验证一般性成立．通过上述的分析可知，本题主要考查对函数奇偶性的理解以及知识的转化迁移能力，对逻辑推理、数学运算等数学核心素养要求较高．

2 反思提升

无论是解法1和解法2，在求解时都需要用到立方和差公式，运算较为麻烦．有没有更为简便的方法呢？在函数奇偶性的学习过程中，我们知道……