张 俊 (山东省淄博市周村区城北中学 255300)

时翠萍 (山东省淄博市周村区第二中学 255300)

笔者近来研究2021年南通市中考试题第25题时，发现该题以最基本的图形变换“轴对称”为背景，渐次生长，思路开阔，是一道值得回味的题目，特撰文与大家交流．

1 原题呈现

如图1，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点A，D重合)，点A关于直线BE的对称点为点F，连结CF，设∠ABE=α．

图1

(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)过点C作CG⊥AF，垂足为G，连结DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

(3)将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连结BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．

2 思路突破

2.1 基于对称变换，构造对称图形

图2

2.2 导角突破难点，多维角度探寻

如图2，对于第(2)问，学生可以直观判断出DG与CF的位置关系，但如果要说明理由，对大多数学生来说有一定的难度，此时题目已经进入宽进难出的环节．那么突破的方向在哪里呢？在此问中，有一个“知识坎”很多学生未能逾越，导致问题探究无法进行到下一步.在这里我们有必要细细品味一下：在图2中，很多学生凭直观猜测出了△CGF是等腰直角三角形，但一直无法说明∠AFC=135°(这里考查了学生利用带有字母的角的导角能力)．如图3，基于前面的分析我们可以得到∠AFB=90°-α，∠BFC=∠BCF=45°+α，所以可得∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°-α+45°+α=135°．从而可以看到，尽管点F的位置是变化的，但∠AFC始终是一个定角．那该问题的本质在哪里？因为BA=BF=BC，所以点F在以点B为圆心、BA为半径的圆上运动，根据定弦对定角，可知∠AFC始终为135°．解决了这一问题，就为后面的探究做好了铺垫．

图3

图4 图5

思路3 如图6，从点共圆的角度……