孟咪莎 于洵 刘婷婷 聂亮 韩峰 郭歌

摘 要：针对环形合成孔径成像系统在成像过程中产生噪声和图像模糊的问题，设计了一种基于Laplacian算子和参数维纳滤波的图像复原技术。针对环形合成孔径的成像退化特点，先对退化图像进行锐化处理，再使用参数维纳滤波对处理后的图像进行复原，同时对比传统的维纳滤波复原算法，以环形合成孔径系统为基本结构，分析和比较单个孔径与不同填充因子的六孔径环形系统的点扩散函数和调制传递函数特性，对系统成像性能和图像退化原因进行分析。仿真结果表明，运用Laplacian算子与参数维纳滤波复原算法对比维纳滤波，图像清晰度有明显提高，更好的实现环形合成孔径图像复原，其中填充因子最大为0.6的复原效果最佳，且峰值信噪比可以达到48.028 6，实现合成孔径的高分辨率成像。

关键词：环形合成孔径;点扩散函数;调制传递函数;退化;图像复原;Laplacian算子;参数维纳滤波

中图分类号：TP391.9       文献标识码：A文章编号：1001-5922（2022）03-0166-06

Image restoration based on a toroidal synthetic aperture system

MENG Misha1， YU Xun1， LIU Tingting2， NIE Liang3， HAN Feng1， GUO Ge3

（1. School of Ordnance Science and Technology， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China;

2. Southwest Electronic Telecommunication Technology Research Institute， Chengdu 610000， China;

3. School of Optoelectronic Engineering， Xi’an Technological University， Xi’an 710021， China）

Abstract：Aiming at the problem of noise and image blur in the imaging process of the annular synthetic aperture imaging system， an image restoration technology based on Laplacian operator and parametric Wiener filtering is designed in this paper. Focusing on the imaging degradation characteristics of the annular synthetic aperture， this technology first sharpens the degraded image， then uses the parameter Wiener filter to restore the processed image. At the same time， compared with the traditional Wiener filter restoration algorithm， the annular synthetic aperture system is used as basic structure， analyze and compare the point spread function and modulation transfer function characteristics of a single aperture and a six-aperture ring system with different fill factors， and analyze the imaging performance of the system and the causes of image degradation. The simulation results show that using Laplacian operator and parametric Wiener filter restoration algorithm to compare Wiener filtering， the image definition is significantly improved， and the ring synthetic aperture image restoration is better realized. Among them， the restoration effect with the maximum filling factor of 0.6 is the best， and the peak signal-to-noise ratio can reach 48.028 6， realizing high-resolution imaging with synthetic aperture.

Key words：ring synthetic aperture; point spread function; modulation transfer function; degradation; image restoration; Laplacian operator; parametric Wiener filtering image restoration

隨着科技的发展，观测成像技术已经应用于各个方面，对于大口径光学系统的需求也逐渐提高，传统大口径光学系统不仅加工困难，且体积重量大[1]，难以满足目前的应用需求，因此光学稀疏合成孔径技术受到更多关注，采用易于制造的小孔径系统，通过之后的机械加工与光学技术合成大孔径系统，能满足高分辨率的成像需求[2]，能适用于各种空间光学系统。

合成孔径光学系统由于实际通光面积的减少，点扩展函数（PSF）将会有相当程度的扩展，调制传递函数（MTF）会出现下降[3]。与等效单孔径系统相比，能有效提高光学系统衍射极限，但会损失较多的中低频信息[4]，致使最终的成像结果出现层次不清和模糊，需要采用图像处理[5]的手段来恢复光学系统的信息，实现高分辨率成像的目的。

本文以六孔径环形系统为基本结构，分析和比较了不同填充因子下六孔径环形系统的PSF和MTF特性，并对系统进行模拟成像，使用图像复原技术进行复原，采用图像评价标准中的峰值信噪比（PSNR）对复原后的图像进行像质评价，对结果进行分析。

1 环形合成孔径的成像性能

环形孔径系统[6]是把多个相同的子孔径等间距，均匀分布在一个较小的圆周上，当环形子孔径的数量增加时，孔径的相对距离也会随之减小。填充因子（F）描述了合成孔径系统的稀疏化程度。如图1分别是单孔径系统、填充因子为0.3和0.6的六孔径环形系统的结构图。

1.1 PSF特性

在空间域，评价一个系统的成像质量经常使用点扩散函数PSF[7]，其可以用来形容成像质量的好坏。由光学理论可以知道，PSF决定了光学系统分辨能力的大小，是一个点光源经过光学系统之后的能量分布。合成孔径成像系统的点扩散函数可以表示为：

PSF（x，y）=|{P（x0，y0）}|2=∫∫+∞-∞P（x0，y0）e-2jπ（x0xi+y0yi）dx0dy02（1）

式中：xi=xλf，yi=yλf，λ為入射波长;P（x0，y0）是光瞳函数;表示傅里叶变换。

如图2所示，图2（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分别为单孔径，填充因子F分别为0.3、0.4、0.5、0.6的六孔径环形系统的PSF。

从图2可以看出，等效单孔径成像系统的PSF分布较为紧凑，中心为一亮点，即爱里斑，大部分的能量都分布在艾里斑中。而六孔径环形系统的PSF分布较为稀疏，中央亮斑向四周扩散，经过六孔径环形系统成像后，成像结果会发生模糊，但随着系统填充因子的增加，中央亮斑的扩散明显减小，且中央亮斑的宽度相比单孔径系统有所减小，系统的成像质量被提高。

1.2 MTF特性

调制传递函数MTF从频率域描述了系统的成像特性，可以很有效的评估扩展物体对比度传递特性。调制传递函数MTF是光学传递函数的模，而光学传递函数实际上是由PSF傅里叶变化或者由光瞳函数归一化自相关得到的，调制传递函数包含的频域范围越大，系统

的成像质量越好。对于合成孔径成像系统而言，光学传递函数为：

H（ξ，η）=∫∫+∞-∞P（x，y）P（x+λdiξ，y+λdiη）dxdy∫+∞-∞P（x，y）dxdy（2）

式中：P（x，y）为光瞳函数;di为六孔径环形系统的出瞳到像面的距离。

如图3所示，图（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分别为单孔径，填充因子F分别为0.3、0.4、0.5、0.6的六孔径环形系统的MTF;如图4所示，将单孔径系统和六孔径环形系统的MTF曲线进行比较。

从图3和图4可以看出，单孔径系统的MTF没有零值区域，没有信息丢失;而在六孔环形结构中，当F=0.3时，填充因子为最小值，此时调制传递函数的响应能力最差，MTF整体表现稀疏，存在大量的零值区域，这些零值区域所丢失的信息是难以恢复的。随着填充因子的增大，MTF包含的信息逐渐增多，结构逐渐紧密，当F=0.5时，MTF的零值区域已经大大减少;当F=0.6时，调制传递函数几乎没有零值区域，MTF均匀且紧密分布。从x和y两个方向的MTF比较图也可以得出相似的结论，填充因子越小，存在零值区域越多，填充因子越大，零值区域几乎没有，且能保存大部分的高频信息。因此，对于六孔径环形系统而言，MTF的中频信息在成像中出现缺失，需要图像复原技术对成像图像进行处理。

2 图像退化分析和模拟成像

在对环形孔径成像系统的退化图像进行复原前，我们首先分析系统的图像退化模型[8-9]。合成孔径成像系统的图像降质模型：

g（x，y）=h（x，y）f（x，y）+n（x，y）（3）

式（3）还可以用等价的频域表达式来表示：

G（u，v）=H（h，v）F（u，v）+N（u，v）（4）

式中：f（x，y）是退化前的图像;n（x，y）表示的是噪声;是卷积算子;h（x，y）为退化函数，在环形系统中为系统的PSF;H（u，v）为系统的光学传递函数OTF，经过傅里叶变换后得到PSF。

图像退化复原原理如图5所示：

通过图5退化和复原流程图，再结合前面环形合成孔径的孔径排布模型，进行傅里叶变化取模的平方，可以得到光学系统的退化函数PSF，输入目标图像，与仿真得出的 PSF 进行卷积，将目标物经环形合成孔径系统模拟成像，其中光学系统为无像差的六孔径合成成像系统，相对孔径1/10，波长500 nm。

如图6所示分别为单孔径系统和4种填充因子的六孔径环形系统的模拟成像图。

从图6可以看出，单孔径系统所成像像质最好，近似为衍射极限像;而六孔径环形系统所成像出现了不同程度的退化。随着填充因子越来越大，像越来越模糊，难以分辨细节，当F=0.3时，成像图像基本模糊不可分辨，中低频信息严重缺失;当F=0.6时，没有单孔径系统成像结果清晰度好，但由于环形合成孔径系统能够保留较多的高频信息，因此细节能够保留较多。成像结果与上节PSF和MTF分布是一致的。

3 图像复原

合成孔径成像系统的图像复原和一般的图像复原不同[10]。其本身的特性导致成像的中低频损失严重，因此不能只是简单的对图像进行复原，要考虑如何恢复图像的中低频信息。针对这个特点，先对图像进行锐化处理，使用Laplacian算子，然后再对维纳滤波进行改进，采用参数维纳滤波来进行图像复原。

3.1 Laplacian算子

Laplacian算子是二阶微分算子中比较常用的一个算子[11]。使用Laplacian算子锐化之后图像的边缘轮廓更加清晰，它的本质其实是在原图的基础上叠加了Laplacian算子的细节成分。

Laplacian边缘检测的公式为：

2f=2fx2+2fy2（5）

Laplacian模板可以表示为：

2f=f（x-1，y-1）+f（x-1，y）+f（x-1，y+1）+

f（x，y-1）+f（x-1，y+1）+f（x+1，y-1）+f（x+1，y）+f（x+1，y+1）-8f（x，y）（6）

對原图f（x，y）做傅里叶变换转换到频域后，在频域对原图f（x，y）进行Laplacian滤波;然后做傅里叶反变换得到空域的经过Laplacian滤波的图。再将傅里叶反变换得到的Laplacian滤波的图和原始图像叠加起来，表示：

g（x，y）=f（x，y）+c2f（x，y）（7）

式中：f（x，y）为原始图像，c2f（x，y）是Laplacian算子锐化的结果。2f（x，y）有负值，所以我们把c的值取为-1，表示为：

g（x，y）=f（x，y）-2f（x，y）（8）

3.2 参数维纳滤波

维纳滤波算法是合成孔径成像系统图像复原常用的算法[12]。它的基本原理：在一定的约束条件下，使得输出图像和期望图像的差值的均方差达到最小，所以又被叫做均方差滤波。均方误差公式：

e2=E（f-f^）2=∫∫+∞-∞|f（x，y）-f^（x，y）|2dxdy（9）

式中：f（x，y）为原图;f^（x，y）为原图的估计值。假设退化图和估计图像的灰度级之间呈线性关系，噪声是有零值的，且噪声和图像之间并没有相互关系，那么式（9）在频域的表达式：

F^（u，v）=H*（u，v）|H（u，v）|2+Sn（u，v）/Sf（u，v）G（u，v）（10）

式中：Sn（u，v）/Sf（u，v）是噪声功率谱与信号功率谱的比值，将这个值定义为信噪比的倒数。

在用维纳滤波进行复原时，当输入信号有轻微的模糊再加上噪声的影响，维纳滤波复原的效果并不能令人特别满意。于是，为了更好的复原效果，提出了参数维纳滤波[13]。参数维纳滤波就是在信噪比的倒数项加了一个参数K，增加参数K可以平滑滤波后的图像，抗噪声干扰能力得到极大的改善。参数维纳滤波器形式：

F^（u，v）=H*（u，v）|H（u，v）|2+KSn（u，v）/Sf（u，v）G（u，v）（11）

3.3 图像复原

在实际对合成孔径系统引起的退化图像进行图像复原时，不光要复原调制传递函数损失掉的中低频信息，还要将系统引入的噪声一并去除，只有这样才能最大程度的提高图像的对比度，使图像包含更多的细节信息。系统总噪声在实际应用中可以近似看做是零均值的高斯白噪声。因此在模拟成像图像加入方差为0.02的高斯白噪声，并使用混合傅里叶小波去噪，加入高斯噪声和去噪结果如图7和图8所示。

用维纳滤波和Laplacian算子与参数维纳滤波分别对去噪图像进行图像复原，结果如图9和图10所示。

从图9、图10中可看到，

图像清晰度都有了明显提高，改善了图像的像质，细节基本可分辨，单孔径系统的去噪图复原后像质较好;对于环形孔径系统而言，填充因子越高，图像复原效果越好，填充因子为0.6的复原效果基本接近单孔径成像系统;填充因子越低，复原效果越差。

图11分别为维纳滤波和Laplacian算子与参数维纳滤波对填充因子为0.6的复原图像局部图。

如图11所示，维纳滤波的复原图像出现了振铃现象，使得高频信息产生缺失;所谓“振铃”，是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡。而Laplacian算子与参数维纳滤波复原的图像基本没有振铃现象，没有高频信息的丢失，改善了成像质量，能够实现六孔径环形合成孔径的图像复原。

3.4 加噪图像和图像复原的峰值信噪比对比

表1为环形合成孔径不同填充因子的加噪、去噪以及图像复原的峰值信噪比（PSNR）[14]。

峰值信噪比为衡量图像质量的一种客观评价标准，其数值较大时，代表图像失真程度很小;反之亦然。

从表1中我们可以得出与图像相似的结论。由此可见，应用图像复原技术可以恢复合成孔径系统所成像的清晰度，Laplacian算子与参数维纳滤波能更好提高合成孔径系统的成像质量。

4 结语

从上述模拟成像和图像复原的结果分析可知，通过图像复原技术，可以极大地改善合成孔径光学系统图像像质，使得复原后的图像和其等效单孔径系统成像结果接近。不同填充因子的环形孔径系统也会对后续图像处理影响较大，填充因子越小，图像复原像质越差，填充因子越大，图像复原像质越好，越接近单孔径成像系统复原结果。使用维纳滤波和Laplacian算子与参数维纳滤波分别对去噪后的图像进行复原，Laplacian算子与参数维纳滤波的复原能力更强，适合于环形合成孔径系统复原图像。通过对不同复原结果进行定量计算，发现使用Laplacian算子与参数维纳滤波对填充因子为0.6的六孔径环形系统复原效果最佳，能充分实现环形合成孔径系统高分辨率成像的目的。

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