应亚敏

[摘 要]日本教育学博士佐藤学认为，学习就是通过与外部世界的对话，最终达到与自己内心世界对话的目的，在此过程中，学习者重新建立了与外部世界和内心世界的交互关系，并给万事万物重新下定义。这种对意義与关系的构建就是学习。学习乘法分配律时，让学生经历类似的心灵陶冶，通过现实情境与外部世界对话，激活原有认知经验，多角度理解等价关系，完整经历分配律的意义构建和对左右转化关系的检验，固化数学模型，这样，学生对乘法分配律的学习就更深入。

[关键词]乘法分配律;数学;经验;情境

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0038-03

教师的一切教学行为都要为学生服务，不但要让学生学有所获，在知识上满载而归，还要让学生学得轻松、学得愉快、学有所成，在心灵上得到艺术熏陶。要想达到这种境界，教师必须揣摩和钻研学生的学习情绪和心理状态。建构主义心理学认为，“事物间的内在联系”与“对事物内在规律的思考”是构建概念的核心。由此，笔者认为，只有引导学生探索知识间的内在关联，并且通过逻辑性的思考，对所提取的知识进行重构和剖析，对原有概念进行二次加工和再生，才能将书本上的知识转化成学生的知识养分，并入学生的认知结构中并与原先的知识体系融通。

因此，教师必须思考：如何衔接新旧知识？如何设计有效的问题，通过问题牵引和带领学生突破重难点？此外，还应该设计好教学策略，让学生心甘情愿地完成自主构建。基于以上认识，笔者以人教版教材第八册的“乘法分配律”一课为例，谈谈个人心得，以期抛砖引玉。

“乘法分配律”是小学阶段一个享有特殊地位的运算定律，它是唯一“跨级”的运算律，它横跨一级运算（加法）和二级运算（乘法），比起其他单级运算定律，它的性质更活跃，使用范围更广泛，当然，理解和掌握起来也更费力。对乘法分配律的娴熟应用，标志着学生对四则混合运算的学习已经达标。不仅如此，乘法分配律还可以作为两位数乘法竖式成立的算理，也可以作为矩形周长公式的代数理论依据，它还是相遇问题公式的数理支撑。同时，解决日常生活中的问题也少不了乘法分配律。

一、赋予生活情境，唤醒休眠经验

紧贴现实生活，创设学生喜闻乐见的教学情境，能较好地唤醒学生沉睡的认知经验和潜在的记忆片段。教材以植树活动为话题，出示了植树活动中学生挖坑、栽树、提水、浇灌等活动环节。教师教学时不妨先出示主题图（如下图），让学生根据画面说一说看到了什么，也可以把图中配文转述一遍，再组织学生根据这些信息提出一些在学生知识范围内能解决的数学问题。学生提出的问题可能会五花八门，而“参加植树活动的学生共有多少？”这个问题正当其时，为学习乘法分配律提供了入口。

信息：山坡上一共聚集了25个小组，每组里4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树;每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。

第一问：一共有多少人参与了这次植树活动？

这个问题可以说是老问题，也是做基本统计时必须直面的问题。求“一共有多少人参与了这次植树活动”，这是从一年级开始就一直不断出现的问题。显然，这涉及两个部分数与总数之间的合并对应关系，只是在方法上做了一些调整，当几个部分数相等同时，直接换用乘法简算。

第二问：你打算提取哪些信息？

提取有用信息是解决问题的前提，也是解决问题的先决条件。创设植树活动情境，可以唤起学生的记忆，让学生在熟悉的情境中对数量和数量关系重新做出有叙事性的解读，使学生能借助事情发展逻辑和生活常识来解决数学问题，而学生按照生活处事逻辑，一般会出现两种做法，先算出每组的人数，再求出25组的总人数，列式为（4+2）×25，或者先分别求出25组的种树人数和抬水人数，再算全员总人数，列式为4×25+2×25。

这种导入法正好符合构建主义的核心思想。学生为了找到分配律的内在规律，必会先找到与外部世界（生活情境）的联系，而欲在情境中找规律，就需要事先筛选信息。问题是求植树的总人数，那么解决这个数学问题需要哪些有用条件？这种思考本身就是一个搭建数学思维与外部世界关系的契机。学生需要一一甄别各条信息，看哪些是对求出结果有帮助的，哪些是对求出结果没有帮助的。经过一番分析，学生对这种数学与情境之间的关系更加明朗：要求出总人数，需要提取每组人数以及组数，这是一层关系，而每组参与植树的人又是分工合作的，每组都是4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树，因此，每组参与植树的人数是2+4的组合，总组数是25。于是，这种关系越来越清晰。这为后面构建分配律的内在世界的关系奠定了基础。

二、全方位立体解读，促进意义建构

意义建构是建构主义的理论基础，是指学习者结合自己的经验储备，对外来的陌生信息进行重新编排，并按照自己的认知经验特征来加工和改造原有信息，从而按照自己的逻辑语言来重新读取已经被编译的信息，获得带有自己意识形态的理解。在教学“乘法分配律”时，从发现左右两边的式子等值，到追问原因，教师可以分层展开教学，促使学生通过对不同意义的理解来掌握其本质。

1.以果导因，发现相等

算式1：（4+2）×25=150（人）

算式2：4×25+2×25=150（人）

思考：（4+2）×25与4×25+2×25这两个算式之间是不是可以画等号？一方面，学生马上能够根据结果相同，推断出两个算式等值;另一方面，从事理层面看，解决的是同一个问题“一共有多少人参与了这次植树活动？”，由此可以断定两个算式求的是一个目标量。当然，这是一个浅易的道理，也是一个微不足道的发现，此时的思考是单薄直白的，这显然不够分量，只有从不同的角度、用不同的方法去进行建构才能使思维更活跃。

2.深度加工，证明相等

刚才是借助计算结果、事理来证明两个算式是相等的，而运算定律的学习要学生从逻辑上推理论证出两者相等，形象思维必须转化为抽象思维，也就是抛离植树背景，抛离计算结果，单单通过对算式的等价变换来证明它们相等。

思考：算式1求积，算式2求和，“积”怎么会跟“和”相等？这看似是一个无趣的问题，却考验着学生对运算意义和运算规则的理解能力和处理能力。学生既要理解四则运算的运算意义，又要掌握四则混合运算的计算法則，只要时间充裕，学生还是能够参透一些门道的：算式1是两数之和与25相乘，所以是求积;算式2是将两个数分别与25相乘，再相加，所以是求和;其实它们并无区别。

教师因势利导，学生就能顺利理解算式1是求6个25的和，算式2的4个25加2个25合起来也是6个25。通过一个“积”与“和”怎会相等的幼稚问题，唤醒了学生的经验，让学生运用低年级学过的“几个□加几个□等于‘几加几’个□”来证明两个算式相等。认知心理学研究表明，如果人们将陌生的信息转化改造成熟悉的语言后储存起来，那么这些信息保存的时间会更长，提取和回忆时会更便捷。学生在理解乘法分配律的运行机制时，实际上就是将它转化成熟悉语言“6个□=4个□+2个□”（甚至可以更直观：□□□□□□=□□□□+□□）后加以理解记忆，从计算结果相等，到具体情境中的目标相等（相同），再到脱离情境从运算意义上推出两个算式意义相等，多个角度联合论证，立体化地建构了运算律的合理性。

不难看出，意义的建构属于“事物内部的关系”，也可以理解为“事物内部的运行规律”，但是内部意义的建构依然可以与外部世界（问题情境）发生联系，这是第一层意义上的建构。（4+2）×25与4×25+2×25这两个算式的相等关系，可以放到情境中理解：（4+2）×25的意义就是先求出一组的人数，然后再求出25组的总人数;4×25+2×25则是先分别求出25组中负责挖坑、种树的人数和负责抬水、浇树的人数，最后将两部分的人数相加求出总人数。这是第一层意义建构，也就是用外部意义来建构内部意义。二重建构则是纯粹的内部建构，内部建构则既可以自我建构，对这个等式进行运算上的解释，也可以降维解构，与低年级的表征勾连起来，如利用□□□□□□=□□□□+□□来建构。

三、深层检验对等关系，固化数学模型

数学活动经验应既包括知识结论经验，又包括推理经验。只有释放巨大的空间，让学生开展个性化的思考，然后进行共性化的展示交流，才能全方位地深刻解剖问题，逐步使解题思路清晰有条理，从而促进学生对概念本质的理解。

如上述“乘法分配律”的教学中，在定律的归纳到应用中，细节不可缺位，教师应该指引学生严密论证数量关系，对运算律的结构特征洞若观火，再借助练习掌握定律，从理论上和形式上固化数学模型。

1.观察细节，发现异同

细节往往是在细心观察、认真思考后才发现的。教学“乘法分配律”时，教师通常会按照先阐释算理后构建形式的顺序教学，一旦部分学生理解后，教师就急于让学生马上运用，这样仓促赶进度，势必会让学生理解不透，只好死记硬背蒙混过关。所以笔者认为，有必要再花时间进行二次观察，找出两个算式的细微差别，延长探究时间，强化学生对运算律结构特征的透析。

思考一：算式1和算式2的结果相等，观察它们的形式有什么不同之处。

学生能发现两处差异：第一是符号上的差异，算式1含有括号，算式2没有;算式1包含一个“+”和一个“×”，算式2则含有一个“+”和两个“×”。第二是数字上的差异，算式1只有3个数，分别是4、2、25，算式2则含有4个数，分别是4、25、2、25。

思考二：算式2里为何会有两个25呢？你怎么理解这两个25？在算式1里，4、2这两个数明明是加数，到了算式2中怎么变成乘数了呢？

思考三：用自己的话解释一下两个算式的相互转换关系。

学生发现，从左往右看，两个数的和与一个数相乘，可以先将这两个加数分别与乘数相乘求积，再将两部分乘积加起来;从右往左看，求同一个数分别与另两个数相乘所得积的和，可以先求出另两个数的和，再来与这个共用乘数相乘。学生的这种个性化表达展示了他们自己对乘法分配律的独特理解。

内部意义的建构，可以从理论上建构，也可以从形式上建构，而对于乘法分配律的建构，完全可以从形式上得到新的建构，因为分配律的符号印记非常明显，两个算式的符号逻辑也非常紧密，无论是数字上还是运算符号上，都可以形成独立的建构。数字上加数变乘数，括号外的乘数从出现一次到出现两次，加号维持不变，一个乘号变成两个乘号，还有括号的有无，都可以完成对形式的建构，它们同时又能形成合力，完成立体的形式建构。这种格式上的变化其实与算理意义上的建构是统一的，也是相互依存的，虽然讲解时可以分开来讲，但是最后完成内部规律的全面检验、模式定型时，必须要求学生综合运用、融会贯通。

2.过渡练习，得到内化

在数学的学习中，针对一些基础概念、基本原理的学习，仅能回忆起来并套用公式是低要求，更高要求是达到理解性的记忆。乘法分配律在小学阶段是一个难理解的运算律，它是四年级的知识，但到了六年级依然能够难倒不少人，这不仅仅是遗忘那么简单。

由此可见，在理解新知后及时巩固训练极为重要。只有通过练习进行强化记忆，运算定律才能在不断的实践中得以反复检验，并在反复检验中得到确认、巩固和深化，最终成为学生的一种潜在意识，促进数学模型成为学生的一种本性化的思维模式。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李芳芳.举分配律一隅而反应用三隅：鉴于乘法分配律中举一反三教学思想的应用[J].新课程，2021（38）.

[2] 芦建章.调正教学偏差 促进意义构建：由“乘法分配律”教学现象引发的思考[J].小学教学参考，2021（26）.

[3] 朱乐平.如何研究一节课的数学教材？[J].教学月刊小学版（数学），2021（Z2）.

[4] 柯媛.“乘法分配律”中日教材比较研究：以冀教版和东京版为例[J].教学月刊小学版（数学），2021（Z2）.

[5] 黄秀惠.探寻内在关联 深化认知理解：“乘法分配律”的教学思考[J].新课程导学，2021（22）.

（责编 吴美玲）