陈涛

摘 要：数学思想方法是数学在发展的过程中所积累下来的精髓，和数学知识一起构成了数学教学的整个系统，而数形结合思想作为数学思想方法的重要组成，在学生的数学学习过程中占据着十分重要的地位。在高中数学函数教学中，由于学生学习兴趣不高、教学内容过于抽象等原因，存在着教学质量不佳的情况，因此，为了改善高中数学教学质量，教师要加强教学中对数形结合思想方法的挖掘，引导学生实现数量关系和几何图形之间的有效转化，帮助学生深入探寻数学的本质，提高学生的数学思维能力。

关键词：高中数学;化难为简;数形结合;函数教学

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2022）02-0056-04

函数是高中数学教学的主要部分，对学生数学知识框架的确立具有十分重大的影响，而尽管从初中数学教学起就一直在引导学生学习函数的知识和方法，但是函数知识的抽象性和晦涩难懂的特点，导致学生无法真正了解函数的表达意义，从而导致了高中数学函数课堂效率不理想的现状。对此，通过在函数教学中加强对数形结合思想方法的渗透，可以将抽象的函数知识转变为学生容易接受的直观形象，使学生可以使用形象思维来认识问题，达到化难为简的作用，有助于提升教学的质量。

一、 高中数形结合教学现状

（一）在高中数学中，数形结合的运用不够全面

在高中数学的课堂教育中，教师对于数形结合的运用以及理解认知都不够全面，这也就会影响课堂的教学成果，据了解目前很多教师对于高中数学的数形结合知识了解得还不够透彻。如果再遇到课堂数学解题的过程中，教师没有理解数形结合这一方法的本质，那么可能会导致学生在了解数形结合的初步阶段就遇到阻碍，不能够完全对几何与代数的转换角度进行合理的分析，继而学生的思维也会受到限制。

（二）高中学生无法完全掌握数形结合的方法

每一个学生受到的教育以及成长环境不同，对于知识的理解程度也不同，这使得学生对数形结合的理解会产生差异，许多学生没有完全掌握数形结合的解题方法，无法从思想上认识到数形结合的重要性，这也使得学生没有办法灵活地运用数形结合来思考数学问题以及解决问题。那么，数学难题中的一些隐藏信息就无法被挖掘出来，这会严重地影响到学生的自主学习的能力。

二、 数形结合思想的原则分析

（一）等价性原则

和枯燥的数学理论知识相比较，数形结合法也在一定程度上降低了理解知识的难度，并且图像和图形的变换过程还可以吸引学生的注意力，让他们更有兴趣去探索数学知识。在整个过程中，学生的思维被有效地调动了起来，而且教师可以用其他的方法，比如说运用一些生活中常见的物体来展现这些图形，帮助学生分析直线位置变化的情况以及直线与圆之间的位置关系。這种方式不仅可以吸引学生的注意力，而且将理论和实践相结合，学生也会更快地掌握知识内容，整个课堂也会变得非常活跃，可以进一步激发学生学习数学知识的兴趣。

数形结合的本质是实现数量关系与几何图像之间的转化，从而换一种思路来思考或者解决问题。因此，要想实现数形结合的目的，就必须要遵循等价性的原则，也就是确保转化出的图像或者数量必须具有一致性，不影响问题的解决。

比如，针对“x15=4sinx有几个实根”这个问题，学生在解决的过程中可以首先对问题进行转化，得到y=x15和y=4sinx这两个函数，并且，通过直接观察就可以得到，这两个函数都是奇函数，所以在画图的过程中只需要考虑右半轴的图像绘制即可。而要想得到正确的结论，就需要学生绘制出标准的图像，完整地找到两个函数图像之间的交点，不然就会导致错误的发生。

（二）双向性原则

高中的数学知识在一定程度上存在着内在的关联性。在教学过程中知识点之间的联系不会被刻意放大，所以在高中学生的脑海里，这些知识点都是被打乱的，学生很难通过自己的能力去探索数学知识的内在联系。这就需要通过数形结合法将数学知识进行有效的衔接，让学生的脑海里可以形成一个完整的知识体系。高中数学知识具有复杂性和抽象性，学习起来比较困难，很多学生都会因为无法理解高中数学知识，产生心理落差。在这个时候教师更应该引导学生通过数形结合法去理解这些数学难题，让他们对数学知识的理解从简单到难形成一个合理的过渡。

数形结合思想的使用给学生的数学学习提供了很多的便利，成为学生十分喜爱的一种问题解决方式。但是在实际的教学中，我们可以发现很多学生对数形结合的理解还不够透彻，认为数形结合就是用画图像的方式来解决问题，这种思想将“形”的价值体现了出来，却忽视了数形结合中“数”的价值和“结合”的内涵，从而导致了学生对数形结合思想应用不够理想的情况。数学家华罗庚曾经说过，数形结合百般好，隔离分家万事休，因此，在运用数形结合来解决问题的过程中，学生必须认识到数量关系和图像之间的转换是双向的，体现了数学的和谐之美。

以如下问题为例：假设目标函数当中的两个变量x和y满足数量关系{x|2y-5x≤0;x-y-2≤0;x≥0}，那么目标函数z=4x+6y+1的最大值是多少？要想使用数形结合的思想来解决这个问题，首先就需要学生对题目当中的目标函数进行处理，转变成为我们熟悉的“y=”的形式，之后再根据转化得到的结论来进行画图，根据函数最值的理论知识来快速地解决问题。这样，在这道问题中，学生一方面可以感受几何图像直观的优势，另一方面也可以体会到精确运算的简洁之美，这正是数形结合的魅力所在。

（三）简单性原则

数形结合可以更加直观地反映数学思想，高中数学教学过程中灵活地运用数形结合法具有重要意义。它可以让学生更加快速地掌握数学知识，进而提高学生的综合能力和素养，在解题的过程中，学生运用数形结合法可以拓展数学思维，尤其是在学习几何知识点时。通过运用数形结合可以快速有效地分析出数学题目，找出其中的关键点，并且进一步解出答案，在一定程度上降低了学生学习数学知识的难度。数形结合解题方法是高中时期大大小小考试的高频考点。现如今，全国数学高考大纲纷纷指向学生数学思维逻辑的培养。从新课程标准对思维能力的要求来看，数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识。为充分转化高中生僵化的思维逻辑及解题思路，我们教师必须要教会学生运用数形结合。

其实最能够体现数形结合方法的就是函数方程。很多学生在解决函数问题的过程中会产生厌烦的情绪，这是因为学生首先想到的是自己将要进行大量的数学运算，而数形结合思想在高中数学教学中的直接应用目的就是帮助学生更加便捷地解决问题，使学生可以摆脱过多的运算步骤，用简单直接的方法去解决问题，提高学生思考问题的效率，展示数学的简洁之美。

比如，针对函数问题：y=ax-x-a（a>0并且a≠1），y有两个零点，那么a的取值范围是？如果学生首先想要使用运算的方式去解决问题，那么很容易走进“死胡同”，找不到解题的思路，但是如果想到了数形结合思想，则可以对题目当中的函数进行处理，转化出g（x）=ax（a>0并且a≠1）和 h（x）=x+a这两个新的函数，接下来只需要通过分类的方式画出两个函数在同一坐标系当中的图像，就可以很快地得出结论。

三、 数形结合思想在高中函数教学中的应用途径

（一）在函数新知初探中应用数形结合思想

数形结合法在高中数学教学过程中一步步地体现出它的优势，但是在实际的运用过程中，仍然存在一些问题。比如说，教师对于数形结合法的理解不够透彻，这导致了学生无法正确地理解它的使用方法。因此教师需要全面理解数形结合法，并且找出其中问题的存在，对教学的内容进行相应的调整，使得数形结合法发挥出真正的作用。基础决定上层建筑，学生在刚开始学习函数知识时如果形成了良好的数形结合意识，则可以为后续解决更多的问题奠定扎实的基础，极大地提升学生在整个高中时期的数学学习效果。

比如，在教学“集合的含义与表示”这一节内容时，学生对知识的掌握将会直接影响到学生对函数定义的理解，对后续的教学至关重要。因此，教师绝不能满足于学生对集合概念的机械式记忆，而是要让学生从多个角度进行探索，充分地消化吸收集合的概念。首先，在学生简单了解了集合的定义之后，笔者向学生提出了一个问题：现在有两个集合，集合A={1，2，3}，集合B={1，2，3，4，5}，那么你们猜一猜下面的哪张图可以用来表示这两个集合之间的关系？然后在黑板上给学生画出了两张图像，一张图像是集合B包裹着集合A，另一张是集合A包裹着集合B。学生很快说出第一张图像是正确的。这样，就引申出了韦恩图的概念。之后，笔者接着让学生思考：为什么会发明出韦恩图这种表达方式呢？从而引导学生去思考数形结合的意义，使学生了解数形结合在解决问题上的优越性，在层层递进的探索中获得一次成功的数形结合体验，为学生后续在函数学习中深入使用数形结合思想奠定好基础。

（二）在寻求解题方法中应用数形结合思想

解决问题是在高中数学函数教学中应用数形结合思想的主要路径，对于巩固学生的数形结合意识大有帮助。数量关系和几何图形是数学研究的两个主要对象，几乎所有的函数问题都和数形结合有着一定的聯系。因此，在引导学生探索函数问题解决方法的过程中，教师一定要将数形结合作为一种重要的思路，对学生进行适当的引导，加深学生对数形结合的印象，取得更好的问题解决策略。

比如，在复习“三角函数”知识的过程中，笔者在练习课上给学生展示了一道问题：求出函数y=sinx+2cosx-2的值域。这个问题看起来很简单，但是其中蕴含着的数学知识点却十分丰富，可以作为锻炼学生解题能力的经典题型。在学生了解题目的内容和要求之后，我首先让学生使用自己喜欢的方法去解决问题，最后发现班级里一共出现了两种解题思路，一种是代数的方法，学生通过对函数y进行变形，利用三角函数的有界性性质来解决问题;另一种就是数形结合的方法，学生通过绘制相关的图像，利用斜率的知识来解决了问题。在展示出了学生的想法之后，笔者和学生一起对两种思路的特点和适用性进行分析，让学生对如何使用几何图形来促进数量关系的解决产生更加深刻的认识。

（三）在知识归纳总结中应用数形结合思想

知识是数学思想方法的载体，因此，在高中数学函数教学中应用数形结合的思想，更多的是体现在知识性的教学中。在高中数学教学中的函数知识是按照一定的顺序被编排在教材上的，但是数形结合思想在函数知识中的体现却比较的分散，因此，教师还需要从知识归纳的角度来引导学生应用数形结合思想，让学生形成广泛应用数形结合思想的意识，从而发挥出数形结合思想的核心作用。

比如，在高三阶段针对函数知识进行复习的过程中，笔者引导学生进行了一次类似头脑风暴的活动，让学生说一说自己印象当中在函数知识学习或者解题过程中会用到数形结合思想的地方。这样的活动引起了学生的好奇心，学生开始说出自己的经验，包括解决三角函数时应用到的数形结合思想、韦恩图、不等式函数中数轴的应用等。将学生的观点都记录下来之后，笔者和学生一起对相关知识进行了整理，制作出简单的思维导图，让学生将数形结合思想融入自己的知识系统中去。

（四）在函数知识回顾中应用数形结合思想

反思是提升学生能力的主要途径。在高中数学函数教学过程中，教师要及时地引导学生对函数的知识进行回顾，加深学生的印象，并且使学生对其中应用到的数形结合思想进行系统的整理，促使学生获得从感性到理性上的跨越，真正地将数形结合思想的使用转变为自己的解题能力和学习能力，从而促进学生数学素养的发展。

比如，在让学生求解“求出函数y=sinx+2cosx-2的值域”这一问题时，笔者在学生解决了题目之后，让学生进行思考，想一想为什么这道问题可以使用数形结合的方法去解决，从而让学生站在出题者的角度去考虑问题，明白是因为这种问题的子结构具有特殊性，从而让学生在遇到类似问题时可以快速地发现使用数形结合解题的思路。这样，通过让学生对函数当中的数形结合思想进行回顾，有助于使学生将数形结合思想进行内化，促进学生数学思维水平的提升。

（五）在函数知识教学中建立学生数形结合思路

教师在对学生进行数形结合课堂教学的时候，要有效地结合本中教材的例题，以此来促进学生对数形结合的了解，掌握数形结合的思考方法以及思路延伸。在高中教学中，如“反三角函数”“指数函数”等内容，利用数形结合的方式来引导学生解答问题，明白概念是一个非常有效的方法。但是，教师在施教的过程中，要注重通过教材的引导，让学生自己建立起一个对数形结合概念的认知，从而培养学生的思维能力和逻辑能力。

比如，在学习“平面解析几何初步”的时候，教师就可以让学生通过“数形结合”的方式对题目进行分析和解答，增强学生对结合图形的判断力和分析能力。教师可以告诉学生，在学习平面解析几何初步的时候，可以通过“以形帮数”的方式来分析题目。在面对题目的时候，可以把原有的图形进行拆分或者合并，然后计算出几何的部分数据，在得出可以延伸的数据之后，再将之拆分开，逐个计算，逐个分析。并且要在曲线与方程式之间建立起良好的对应和呼应关系，让整个题目的前后能够紧密衔接起来，满足数形结合的要求，实现“以形帮数”。或者教师可以引导学生，通过画图或者画坐标的形式来进行数学题目的空间结构概念推理，让学生的大脑中形成一种立体概念，能自行地构建一个解题的思路。以此为法，结合课本教材对学生进行数形结合解题思路的培养，能有效建立学生的学习和解题思路，帮助学生在将来的数学课堂学习中攻坚克难。特别是在面对一些异面直线成直角、平面与平面之间成角等问题时，以数形结合的方式进行解答和分析，能大大提高学生的学习效率和解题速度，帮助学生构建起一个完整的数学思维框架。

综上所述，函数是高中数学教学的重点，在教学过程中，教师绝不能使用灌输式的教学手段，让学生死记硬背题型，而是要充分挖掘数形结合思想在函数教学中的应用价值，引导学生从更多的角度来看待函数问题，深化学生对函数问题的解决能力，使学生的数学素养得到发展，从而提升高中数学函数教学的效果。教师在进行高中数学课堂教学的时候，想要有效地提高課堂教学质量和学生的学习效率，就要利用有效的教学手段对学生进行引导和培养，让学生学会通过技巧性的方法来学习，提升学生的学习兴趣和学习能力。而且在教学过程中，教师要严格按照教材规定开展教学，并且要紧密地结合课堂实际问题，以培养学生的思维能力为导向教育学生。

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