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平均值的一组新不等式

2022-04-13刘小宁

武汉工程职业技术学院学报 2022年1期
关键词:算术正数调和

刘小宁

(武汉软件工程职业学院 湖北 武汉:430205)

1 一组优美的平均值不等式

设ai与t为正数,n为不小于2的自然数,当i=1,2,…,n时,记An、Gn与Hn分别为n个正数ai的算术平均值、几何平均值与调和平均值,即

文中构建了如下一组3个结构新颖且形式优美的平均值不等式

(1)

等号当且仅当

时成立。

(2)

等号当且仅当

时成立。

(3)

等号当且仅当

时成立。

实际上,平均值不等式(1)~(3)也是3个关于正数ai个数n的单调递增函数。

在算术平均值An,几何平均值Gn与调和平均值Hn之间,还存在大家熟悉的算术——几何——调和平均值不等式[1]

An≥Gn≥Hn

(4)

等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。

式(1)~式(3)是含参数t的平均值不等式,而平均值不等式(4)不含参数t。

2 证明

为证明结构新颖且形式优美的平均值不等式(1)~(3),先证明如下定理。

定理:若x与t为正数,则

(5)

等号当且仅当t=xn-1时成立。

证明:设y与m为正数,作辅助函数

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn

由于y与m为正数,

1)若y=m,则R(y)=0;

2)若x

3)若y>m,有y-m>0,且

以上分析表明,当y与m为正数时,恒有

R(y)=yn-n·mn-1·y+(n-1)·mn≥0

在上式中作变换

可得到定理即式(5),等号当且仅当y=m即t=xn-1时成立。定理证毕。

不等式(1)的证明:令定理中

注意到

不等式(2)的证明:令定理中

注意到

不等式(3)的证明:令定理中

注意到

以及

an=n·An-(n-1)·An-1

不等式(4)的证明:取不等式(1)中t=1,可得算术——几何平均值不等式:An≥Gn;取不等式(2)中t=1,可得几何——调和平均值不等式:Gn≥Hn;综合这两个不等式,可得到算术——几何——调和平均值不等式(4),等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。不等式(4)证毕。

3 应用

例1:记关于n个正数ai的算术平均值An,几何平均值Gn与调和平均值Hn的均差函数分别为

F1(n)=n(An-Gn)

(6)

(7)

F3(n)=n(An-Hn)

(8)

则F1(n),F2(n)与F3(n)分别是n的单调递增函数。

证明:取不等式(1)~(3)中t=1,可分别得到

F1(n)≥F1(n-1)

F2(n)≥F2(n-1)

F3(n)≥F3(n-1)

故F1(n),F2(n)与F3(n)分别是n的递增函数。

因为例1中关于式(6)为递增函数的结论是Rado不等式[2-6],所以式(7)与式(8)为递增函数的结论可视为Rado不等式的推广[7]。

例2:记关于n个正数ai的算术平均值An,几何平均值Gn与调和平均值Hn的均商函数分别为

(9)

(10)

(11)

则f1(n),f2(n)与f3(n)分别是n的单调递增函数。

证明:1)取不等式(1)中

整理可得到:f1(n)≥f1(n-1)

故例2中式(9)是n的单调递增函数。

2)取不等式(2)中

整理可得到:f2(n)≥f2(n-1)

故例2中式(10)是n的单调递增函数。

3)取不等式(3)中

整理可得t到:f3(n)≥f3(n-1)

故例2中式(11)是n的单调递增函数。

因为例2中关于式(9)为递增函数的结论是Popovic不等式[2-6],所以式(10)与式(11)为递增函数的结论可视为Popovic不等式的推广[7]。

例3:设r为不超过n的正整数,即r=1,…,n时,则

An≥q1(r)·Gn≥Gn≥q2(r)·Hn≥Hn

An≥q3(r)·Hn

(12)

其中

(13)

证明:当r为非负整数且r=1,…,n时,

1)因为例2中式(9)是单调递增函数,有

由算术——几何平均值不等式即不等式(4)的最左项与中间项,可知式(12)中第一式的最左项与中间项,以及式(13)的q1(r)成立。

2)因为例2中式(10)是单调递增函数,有

由几何——调和平均值不等式即不等式(4)中的中间项与最左右项,可知式(12)第一式的中间项与最左项,以及式(13)的q2(r)成立。

3)因为例2中式(11)是单调递增函数,有

由算术——几何——调和平均值不等式即不等式(4)的最左项与最右项,可知式(12)中第二式,以及式(13)的q3(r)成立。

例3表明,在n个正数ai的算术平均值An与几何平均值Gn之间,以及在几何平均值Gn与调和平均值Hn之间可分别加细,例3中的q1(r)与q2(r),分别是An与Gn之间,Gn与Hn之间的加细系数;在An与Hn之间,可用系数q3(r)进行加细。

根据式(6)与式(7)递增性的证明过程,可得到

例4:设r为不超过n的正整数,且r=1,…,n-2时,则

显然,例4是算术——几何——调和平均值不等式加细的又一种形式。

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