丁晨丽

(浙江省杭州市艮山中学,310005)

数学运算素养是中学生应具备的六大数学核心素养之一．它是解决数学问题的基本手段,贯穿于数学教学的始终,也是形成和发展其它数学核心素养的基础．高三教学内容的诸多板块,如三角函数与解三角形、数列、圆锥曲线等，都特别注重对数学运算的考查．学情不同,年段不同,提升运算素养的策略也各不相同,但根本目标是提高复习的实效,提升数学核心素养．本文以高三第一轮复习为例对此进行探究．

一、回归运算起点,准确掌握运算法则,注重思想方法的一致性

一轮复习的首要任务是唤醒,教学设计要注重回归学生认知的原点,重新理解运算对象及运算法则,舍得花时间注重对具体运算过程的示范引领和指导,加强基础运算,促进学生对基本方法、基本元素的理解和掌握,强化知识的梳理和重建．

例1(浙江省2006年高考第11题)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S5=10,S10=-5,则公差为______．

变式设Sn为等比数列{an}的前n项和,若S5=10,S10=-5,则公比为______.

等差与等比数列是两类基本的数列模型,是数列问题转化和化归的原型．对于基础较弱的学生首先该落实基本的解题方法．等差(比)数列通常称为二元数学对象,首项与公差(比)是它们的“元”,求解等差(比)问题通常是转化为关于两个“元”的方程(组)来求解．复习时要引导学生回归元的思想和方程(组)的思想,感悟等差、等比数列解题方法的一致性．在求解结果时,应注重解题示范,让学生对比两个问题中方程组求解的差别,加深印象．

在复习课中,示范如何列方程组,如何求解,看似没有必要,但对于基础较弱的学生来说,这样的示范更具有导向性,过程体验有利于学生养成规范的思维方式．教学不能局限于一招一式的“解题术”,要体现数学思想方法的一致性,多做典型示范,助推学生养成好的运算习惯．

二、正确对待“硬算”,体验算法优化过程,感悟方法的普适性

在复习时,常常有老师提到:“前两天刚复习过,今天提问怎么都不知道！”“怎么越复习考得越差!”在复习三角函数求值问题时,可以设计下面一组题:

溢流室压力随喷浆速度升高的变化幅度较小。当前所研究的喷浆速度范围10～180 m/min与沟槽内表面速度21 m/s(即1260 m/min)相差巨大，所以喷浆速度的升高对流道内流速的影响很小，环形流道内浆流流速主要靠沟槽辊转速带动。

这类三角恒等变换求值问题在前面都已学过,多数学生却忘得一干二净,他们习惯把已知条件等式与sin2α+cos2α=1联立方程组求解sinα,cosα,俗称“硬算”．在实际教学中由于有更好的解题方法,这种“硬算”法往往被忽略,或者被鄙视．其实基础弱的学生最害怕一题多解．在一轮复习初期,教师应该尊重学生的这种算法,帮助学生回归认知原点,循序渐进,不能硬拔,课堂上舍得花时间让学生完整规范地算完．因为一方面这种方法属于通法通解,5道题都能解决；另一方面让学生自己多参与、多体会、多感悟,参与运算的全过程,感悟方法的普适性,体会运算成功的喜悦．

从而求得结果．在解答过程中,和学生一起厘清题目的内在联系,归纳和总结“算法”(图2),揭示题组中(1)和(2)所蕴含的数学背景,再进一步将问题一般化,这样不但能解决一个问题,而是能解决一类问题．这样可以提升理解的深刻性和运用的灵活性．

教师继续引导学生发现题组中(3)(4)(5)与(1)(2)的共同点和不同点,共同点是题设本质上是相同的,不同的是求解的三角函数不同．题设本质相同,可以通过合一变形转化为sin(α+φ)=m,选择适当的方法求解;求解内容不同了,是否还有其他方法?学生在进一步的探究思考中,不仅能深刻理解之前归纳的算法,还会探究出其他通用方法如平方法(图3)．

三角是基础薄弱学生得分的重点,“会做算不对”是学生的常见毛病,其本质是习惯于“照搬”,对知识理解不透彻,运算不过硬．对于基础比较弱的学生教学要做减法,减的目的是为了让学生有更多的时间思考和领悟．这是提升数学素养必不可少的过程．要重基础,注重通性通法的培养,优化课堂教学设计,不断培养思维的深刻性,也要引导学生深层次思考问题,注意培养学生养成反思解题过程和优化解法的习惯,能从不同层次不同角度认识知识间的内在一致性和关联性,体会数学的整体性．

三、组合“知识块”,明确运算方向,提升逻辑的连贯性

数学运算属于逻辑推理,传统的复习将数学内容碎片化为知识点,采用“灌输+记忆”的方式强加给学生,再通过刷题提高解题技巧,对于逻辑推理能力弱的学生来说，这种方式并不利．复习时我们可以采用“知识组块”策略,将长线思维分割成短线,一段一段地落实,这样既能提升思维的连贯性,又能精准落实知识点.对学生而言,易操作,方向明确,从而提升学习效果．

三角函数类解答题往往呈现一定的规律且相对稳定,可以将其分割成三个知识组块:恒等变形块,性质块和求值块．恒等变形块主要是把已知三角函数式运用三角恒等变形公式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,它是研究第二块三角函数性质最关键的环节．对于恒等变形,可以设计这样的程序式的知识块(如图4),形成知识纵向联系的主线,使三角变换的目标清楚,运算方向明确,思路清晰明朗,避免学生许多徒劳无益的盲目尝试．性质块研究可以参考图5,以方法为关键词,构建一类正弦类函数模型性质问题解决的一般思路,感受变量代换法和图象法在研究正弦类函数性质中的差异,凸显知识的内在联系,提升逻辑推理和运算素养．

知识块与块之间无缝连接提升学生对知识的综合运用能力,优化数学认知结构．“知识块”更凸显知识的整体性,方便学生获取解题思路,缩短思维长度,减少错漏,提高运算的准确度．运算能力增强会促进自身逻辑思维能力的提升．

具体的知识块可以是大结构也可以是小结构,可抽象也可具体．学生也可以根据自身需求,对所学知识或者做过的题型进行归纳和整理,构建个性化的知识块．

随着复习的深入,经验不断积累,这种块的规模也会扩大．积少成多整理的过程,会促进学生从具体问题中学会抽象概括,再到类比推理,逐步形成思维的正向迁移,加深对概念方法的联系和理解,提升运算的准确度．