王 飞 许清清

(江苏省南京市第十三中学，210008)

在概念教学中，以环环相扣的数学概念体系为依据,构建系列化的“情境+问题”,形成具有内在关联的可持续的数学活动,“教数育人”，为学生提供积累性和持续性的学习机会,提升学生的理性思维.本文以“导数的概念及其几何意义”的概念生成教学为例进行探究.

一、教学实录

1.现实情境中提出问题

导语数学源于生活,高于生活.请同学们看图片(图略),这是体育竞赛中的高台跳水项目,它的要求是:跳台高度27米,完成4周以上的翻腾,在距离水平10米左右准备入水动作,整个动作时间约为3秒,入水瞬时速度可以达到每小时70至100公里.

设运动员在运动过程中的重心相对于水面高度h与起跳后的时间t存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

问题1如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度?涉及到哪些量?

设计意图高台跳水是学生喜爱的体育运动项目,比较容易联想到“瞬时速度”,能直观感知“平均速度”与“瞬时速度”之间存在联系.

2.在概念联系中分析问题

问题2平均速度与瞬时速度有何区别与联系?

追问“区间很小很小”如何用数学语言刻画?

师生活动平均速度刻画某区间上的位移变化快慢程度,是平均变化率;瞬时速度刻画某一时刻的位移变化快慢程度,是瞬时变化率.当区间很小很小时,平均变化率逼近瞬时变化率.“区间(t1，t2)很小很小”即t2，t1→0.

问题3如何计算1s时的瞬时速度?ts时的瞬时速度?

师生活动在区间(t，1)上,平均速度

设计意图从学生的最近发展区出发,联系物理学科中“平均速度”与“瞬时速度”,由特殊到一般,引导学生用数学的思维思考问题,从数的角度探究“逼近”．学生能在具体情境中体会、运用“逼近”思想,合作交流、互帮互助,积累数学活动经验,将“学生人人都有收获”的课程理念落到实处.

3.在数、形融合中感知概念

问题4数学具有数、形两重性.用几何画板作出h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,设点P(t1,h(t1))，点Q(t2,h(t2)),则平均速度、瞬时速度有没有几何意义?(师边问边动画演示如图1)

设计意图运用多媒体技术,引导学生直观感知:直线PQ是曲线的一条割线,当Q无限逼近P时,直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的切线PT;曲线在P点处的切线斜率即为函数h(t)在t1时刻的瞬时变化率．

4.在抽象概括中生成概念

追问1x=x0时瞬时变化率的几何意义是什么?

设计意图再次从数、形两个角度经历由平均变化率向瞬时变化率逼近的过程,为后续的抽象概括提供逻辑依据.

问题6一般地,对于函数f(x)如何求在x=x0处的瞬时变化率?如何求其图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率?

设计意图由特殊到一般,发现一般规律,是数学独特的思考方式.学生经历由“不确定”到“确定”的思维过程,切实体会到求切线的斜率的思路和过程与求对应函数的导数的思路和过程的一致性,理解导数的几何意义;抽象概括导数定义的过程是学生学习内化的过程,真正落实学生是学习主体的课程理念,使学生学习并掌握由特殊到一般、类比等解决问题的数学思想方法,养成良好的数学思维习惯和方式,提升学生的逻辑推理素养和数学抽象素养．

师:数学史料记载,切线概念发展经历了3个阶段,由静态定义到动态定义:

(1)欧几里得:在平面内,与圆只有一个交点的直线是圆的切线;

(2)阿波罗尼奥斯:圆锥曲线的切线是与圆锥曲线只有一个公共点且全部在圆锥曲线之外的直线.

(3)笛沙格:把切线明确地看作是割线的极限．

设计意图运用数学史知识,帮助学生理解概念生成的来龙去脉,体会数学概念发展的阶段性与持续性;每一次新的切线概念总是全部包括了以前的概念,并逐步有所推广,体现数学概念的一般化精神,渗透数学文化.

二、教学感悟

1.在结构关联中落实“四基”、“四能”

由现实情境——高台跳水引入课题,引导学生运用数学的眼光看待世界、用数学的语言表达世界,明白数学源于生活、服务于生活;联系物理中的“平均速度”与“瞬时速度”,自主探究解决问题的路径,从数的角度经历由平均变化率向瞬时变化率过渡的过程,在结构关联中生成函数f(x)在x=x0处的导数的定义,培养学生数学的思考方式,提高学生分析问题、解决问题的能力;融合函数的图象,从形的角度经历由割线向切线逼近的过程,直观感知导数的几何意义,体会“逼近”、极限等数学思想．在探究性活动中,帮助学生积累丰富的活动经验．

2.在 结构关联中培育质疑、探究精神

斯托里亚尔说过:“数学教学是数学思维活动的教学．”建构知识不能只让学生记住现成的结论,忽视思维过程的展开,必须让学生经历学习的过程．无论是从数的角度寻求计算瞬时变化率的方法,还是从形的角度探究切线、体会“逼近”与“以直代曲”,学生经历由特殊到一般、抽象概括的学习过程,合作探究中经历由猜想到验证的思维过程,培育学生质疑求真、严谨求实、勇于探索的理性精神.

3. 在数学史学习中感受理性精神

丹麦著名数学家和数学史家H.G.Zeuthen强调:通过数学史的学习,学生不仅获得了一种历史感,而且,通过从新的角度看数学学科,他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力．“曲线在一点处的切线”这一定义经历3个阶段,后者的提出都是在前者的基础上扩大曲线的范围,后者包含前者,由静态到动态,此发展过程正是数学概念的扩张化、一般化精神的具体体现．数学史的介绍有利于学生形成积极的学习情感态度和对数学文化的认同,学生能切身感受到数学的理性精神．