汪秋分

概念格的概念特征与概念约简

汪秋分

（厦门工学院 数据科学与智能工程学院，福建 厦门 361000）

概念约简就是寻找极小形式概念子集以确保原数据形式不变．从形式背景的二元关系出发，定义了包含二元关系的极小概念集，讨论了此极小概念集与核心概念、相对必要概念以及不必要概念之间的关系，给出了判别3种概念的充分必要条件．利用析取及合取的逻辑运算，提出了概念格的概念约简的可行方法，并举例验证了结果．

形式背景；二元关系；概念格；概念特征；概念约简

1　引言及预备知识

基于对哲学中“概念”一词的理解，德国数学家Wille提出了一种对数据进行处理和分析的有效工具——形式概念分析（FCA）[1-2]．至今，该理论已经在信息检索、数据挖掘和知识发现等领域得到了广泛的应用．

形式概念分析中最基本的概念是形式背景和形式概念．对象集、属性集及其二元关系组成了形式背景，外延和内涵共同构成形式概念．目前，许多学者已经对形式概念分析进行了深入研究，主要集中在概念格的构建[3-4]、属性约简[5-7]以及规则提取[8-9]等方面．另外，形式概念分析和其它相关理论的结合研究也广受欢迎，已经产生了许多优秀的成果和新的研究方向[10-13]．

随着大数据时代的来临，人们对数据的处理难度逐渐增大．因此，有效减少数据的数量显得尤为重要，即利用尽可能少的知识体现尽可能多的数据．概念格的概念约简就是寻找极小形式概念子集，以保持原背景数据不变．曹丽[14]等从形式概念的角度提出了保持二元关系不变的概念约简，给出了概念约简的定义及概念协调集的判定定理，并研究了3种概念的概念特征；魏玲[15]等分别从算子和布尔矩阵角度研究了对象（属性）概念的概念特征，并给出了一种求解概念约简的方法和算法；谢小贤[16]等利用布尔矩阵运算，研究了保持二元关系不变的概念约简及概念特征问题，给出了概念约简的方法；王霞[17]等定义了概念可辨识矩阵，研究了其与概念协调集之间的关系，讨论了3种概念的概念特征，并给出了概念约简的步骤．

本文继续研究概念格的概念特征及概念约简等问题．首先从二元关系的角度，定义了一种包含二元关系的极小概念集；然后讨论了极小概念集与核心概念、相对必要概念以及不必要概念之间的关系，给出了相应概念特征的判别方法；最后借助析取及合取运算，提出了一种由极小概念集得到概念约简的简洁方法，并通过实例验证了结果．

2 概念特征的判别方法

研究形式背景导出的3种概念的概念特征，即讨论概念格中核心概念、相对必要概念和不必要概念的判别方法．

表1 形式背景

2.1　核心概念的概念特征

由定理1容易得到推论1～2．

2.2　相对必要概念的概念特征

由定理3容易得到推论3．

证明由定理2可知，充分性成立．

2.3　不必要概念的概念特征

3 概念约简的方法

魏玲[15]1827等提出从包含所有二元对的概念中各取一个再组合，得到一个概念协调集，然后再求其概念约简，即有命题1．

命题１所给出的方法，需要对所有包含二元关系的概念集作运算．而由上节讨论可知，可以通过包含二元关系的极小概念集得出形式背景导出的3种概念．又由于不必要概念不属于任何概念约简，即任意概念约简均不含不必要概念，且任意一个包含二元关系的极小概念集中的概念要么是核心概念，要么是相对必要概念．因此，可以从每一个包含二元关系的极小概念集中任取一个概念，进行组合便可得到一个概念协调集，然后得出全部的概念约简．

4 结语

本文主要研究了保持二元关系不变的概念约简及其概念特征．基于形式背景的二元关系，定义了一种包含二元关系的极小概念集．讨论了此极小概念集与形式背景导出的3种概念之间的联系，给出了相应概念特征的判别方法，提出了一种由此极小概念集得到形式背景的概念约简的方法．在此基础上，可以进一步探讨概念约简的其它方法及其相应的算法等问题，这将是后期的工作．

[1] Wille R．Restructuring lattice theory：An approach based on hierarchies of concepts[C]//RIVAL I．Ordered Sets．Reidel：Dordrecht-Boston，1982：445-470．

[2] Ganter B，Wille R．Formal Concept Analysis：mathematical foundations[M]．Berlin：Springer-Verlag，1999．

[3] Yao Y Y．Concept lattices in rough set theory[C]//Proceedings of Annual Meeting of the North American Fuzzy Information Processing Society．New York：North American Fuzzy Information Processing Society，2004：796-801．

[4] 邹先霞，杜威，魏长华．一种基于粗集理论的概念格构造方法[J]．华中师范大学学报（自然科学版），2001（2）：146-149．

[5] Zhang W X，Wei L，Qi J J．Attribute reduction theory and approach to concept lattice[J]．Science in China Series F：Information Sciences，2005，48（6）：713-726．

[6] Wei L，Qi J J，Zhang W X．Attribute reduction theory of concept lattice based on decision formal contexts[J]．Science in China Series F：Information Sciences，2008，51（7）：910-923．

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[8] Li J H，Mei C L，Wang J H，et al．Rule-preserved object compression in formal decision contexts using concept lattices[J]．Knowledge-Based Systems，2014（71）：435-445．

[9] 刘琳，魏玲，钱婷．决策形式背景中具有置信度的三支规则提取[J]．山东大学学报（理学版），2017，52（2）：101-110．

[10] Yao Y Y．An outline of a theory of three-way decisions[C]//Proceedings of Rough Sets and Current Trends in Computing．Chengdu：Springer，2012：1-17．

[11] Li J H，Mei C L，Xu W Z，et al．Concept learning via granular computing：a cognitive viewpoint[J]．Information Sciences，2015（298）：447-467．

[12] Zhi H L，Li J H．Granule description based on formal concept analysis[J]．Knowledge-Based Systems，2016（104）：62-73．

[13] Qi J J，Wei L，Wan Q．Multi-level granularity in formal concept analysis[J]．Granular Computing，2019，4（3）：351-362．

[14] 曹丽，魏玲，祁建军．保持二元关系不变的概念约简[J]．模式识别与人工智能，2018，31（6）：516-524．

[15] 魏玲，曹丽，祁建军，等．形式概念分析中的概念约简与概念特征[J]．中国科学：信息科学，2020，50（12）：1817-1833．

[16] 谢小贤，李进金，陈东晓，等．基于布尔矩阵的保持二元关系不变的概念约简[J]．山东大学学报（理学版），2020，55（5）：32-45．

[17] 王霞，彭致华，李俊余，等．一种基于概念可辨识矩阵的概念约简方法[J]．计算机科学，2021，48（1）：125-130．

Concept characteristics and concept reduction of concept lattice

WANG Qiufen

（School of data Science and Intelligent Engineering，Xiamen Institute of Technology，Xiamen 361000，China）

Concept reduction is to find a minimal subset of formal concept to ensure that the original data form unchanged．Based on the binary relation in the formal context，a minimal set of concepts including binary relation is defined．The relationship between this minimal concept set and core concepts, relative necessary concepts and unnecessary concepts are discussed，the necessity and sufficiency to distinguish the three concepts are given．Finally，by using the logical operation of disjunction and conjunction，a feasible method of concept reduction is proposed，and the result is illustrated．

formal context；binary relation；concept lattice；concept characteristics；concept reduction

1007-9831（2022）03-0008-05

O29∶TP18

A

10.3969/j.jssn.1007-9831.2022.03.003

2021-10-21

福建省中青年教师教育科研项目（JAT190960）——形式背景与概念格的约简理论研究；厦门工学院基于大数据的模糊系统理论及其应用科研创新团队项目（KYTD202005）；院级科研基金项目（SZKY202101）——面向属性概念约简的研究

汪秋分（1987-），男，湖北黄冈人，副教授，硕士，从事形式概念分析与粗糙集理论研究．E-mail：356672150@qq.com