安文龙，吴 璇，江松辉，朱一林

(西南石油大学 土木工程与测绘学院，四川 成都 610500)

0 引 言

超材料(metamaterials，META)为具有不寻常的电磁、光学、声学、热学和力学特性的新型人造材料，而这些特性在自然界中是不存在的.超材料这些特性使其在工业、军事等领域具有十分广阔的应用前景，因此，超材料被《Science》杂志评为二十一世纪前十年中的十大科技突破之一.

拉胀超材料(包括拉胀泡沫材料和如图1所示的拉胀蜂窝材料)是自20世纪90年代起迅速发展起来的一类具有负泊松比效应的功能和结构一体化的多孔材料[1-4].与常规材料相反，拉胀超材料在承受单轴拉伸(压缩)载荷时，在与负载垂直的方向上发生膨胀(收缩).由于这一特殊的变形形式，相较于传统的多孔材料，拉胀超材料在抗剪切、抗压缩、抗冲击、抗断裂、能量吸收和减震等多方面具有更优越的性能；并且，拉胀超材料还可表现出同向曲率的独特物理性能[5].这些独特的力学和物理特性使负泊松比材料在航空航天[6-8]、军工[9-11]、汽车船舶[11-13]、生物医学[14-16]、纺织品[17]、传感器[18]和智能过滤器[19-20]等领域有广泛的应用前景，因此吸引了众多学者对其进行研究，其结构优化设计和基础力学性能分析已经成为了材料和力学界关注的热点话题.

自Lakes[21]于1987年首次成功制备了一种带有凹型微结构的泡沫材料以来，国内外相关学者相继研究、设计和制备出了众多拉胀材料，包括层压型纤维增强拉胀复合材料[22-23]、单基体的拉胀泡沫材料[24-25]和拉胀蜂窝材料.层压型纤维增强拉胀复合材料容易出现界面脱黏破损，拉胀泡沫材料的微结构很难控制，力学性能分散性很大，不容易获得期望的效果.而拉胀蜂窝材料具有规则的元胞结构，非常便于设计、优化和制备，在航空航天和生物医学行业有广阔的应用前景，可作为制备飞机机翼的发动机叶片、鼻翼以及人造血管和生物植入件等的潜在材料.需要指出是，目前制造的拉胀结构的基体材料多为高分子或者橡胶等弹性体材料[26-28]，弹性体基体材料力学性能很弱并且容易老化，限制了以其为基体的拉胀超材料的工程应用.而金属材料力学性能一般都远高于弹性体材料且性能稳定.因此，以金属材料为基体且具有周期性微结构的拉胀蜂窝材料有更好的工程应用前景.

手性拉胀结构是一种典型的二维拉胀蜂窝结构,其元胞结构由中心圆环和与之相切的手臂组成，根据切点数目的不同，手性拉胀材料可分为三节点、四节点和六节点结构[29].由于在变形时其形状可以平稳改变，且具有优越的面外力学性能，手性拉胀结构在制备柔性器件和吸能装置领域具有很大的潜力[30].由手性拉胀结构制备的元器件在服役时不可避免地会经历弹塑性大变形，而目前对手性拉胀材料的研究大都专注于弹性小变形框架，揭示基体材料的塑性变形行为对其拉胀性能影响的研究还未见报道.因此，本研究拟系统考察基体材料塑性模量对典型手性拉胀结构(六节点手性结构和三节点反手性结构)在弹塑性大变形时拉胀性能的影响，并揭示其变形机理，为拉胀结构基体材料的选取以及结构优化设计提供指导.

1 数值方法

1.1 材料属性

参照钢材的性能，本研究所用基体材料的弹性模量E、泊松比ν和初始屈服应力σy分别取为210GPa，0.3和300MPa.为系统地考察材料塑性对结构整体力学性能的影响，塑性模量Ep在0MPa(理想弹塑性)至210GPa(即基体材料等价于纯弹性)之间进行了广度取值.基体材料所用本构模型为双线性弹塑性本构模型.

本研究的数值计算采用ABAQUS商用软件完成，计算中所用的单元类型为CPE4二维平面应变单元，计算时考虑了几何非线性的影响.

1.2 几何尺寸

参照Alderson等[29]的研究，二维手性拉胀结构的几何尺寸可由圆环内半径r，手臂长度l以及壁厚t这3个面内几何参数来表示[6].六节点手性结构和三节点反手性结构的元胞结构分别如图1、图2所示，二者的相对几何尺寸分别为r∶l∶t=5∶25∶1.25(t=1.25 mm)及r∶l∶t=4.5∶20∶1(t=1 mm).需要指出的是，结构材料的泊松比只与结构元件的相对尺寸有关.

图1 六节点结构元胞结构尺寸

图2 三节点反手性结构元胞结构尺寸

假定材料的面外尺寸远大于面内尺寸，故有限元分析时采用了平面应变假设.

1.3 基于周期性边界条件的均匀化方法

为简化计算，本研究的分析只针对单一元胞结构，采用基于ABAQUS软件的有限元均匀化方法来考察手性拉胀材料的等效力学行为.为消除边界条件的影响，计算时对元胞结构施加了周期性边界条件[7-8]，即,

(1)

(2)

(3)

式(2)和(3)中，V0和∂V0分别为元胞在参考坐标系下的体积和边界.

元胞的整体变形可由等效Biot应变[31]来度量，即，

(4)

式中1为二阶单位张量.

借鉴Saccomandi等[32]的研究，等效泊松比可定义为，

(5)

(6)

2 结果与讨论

通过基于ABAQUS软件的均匀化方法，研究了两种手性拉胀材料的面内等效泊松比响应.为了获得不同取向的性能，在数值计算时，保持加载方向不变，而元胞的取向(以图1和2中的角度θ表征)以5°为增量从0°旋转到360°.

2.1 六节点手性拉胀结构

为考察塑性模量对六节点手性结构整体力学性能的影响，首先研究了θ=0°时该结构在不同塑性模量下的泊松比响应，其结果如图3所示.首先分析基体材料为理想弹塑性的情况.由图可知，当在A点(由等效Biot应变约为0.4%)之前，结构拉胀性能有缓慢减弱的趋势(泊松比的绝对值缓慢减小)；在A点之后，结构的拉胀性能得到显著增强(泊松比的绝对值明显增大)，并且在大约6%的等效Biot应变范围内持续增强，但随着变形的增加，拉胀性能增强的趋势逐渐减弱;当等效Biot应变达到一定程度后，拉胀性能开始减弱(泊松比的绝对值减小).

图3 不同塑性模量下六节点拉胀材料的等效泊松比演化曲线(θ=0°)

为考察六节点手性结构的变形机理，图4进一步给出了基体材料为理想弹塑性材料时该结构在不同变形程度时(图3中点B、C、D、E对应的等效Biot应变分别为0.2%、1%、6%、9%)的等效塑性应变云图.

图4 基体材料为理想弹塑性材料时六节点手性结构在不同变形程度时的等效应变云图(θ=0°)

由图可知，该结构的拉胀性能主要源自变形时手臂的弯曲和中心圆环的转动[33-34].进一步对比各点对应的泊松比和等效塑性应变云图可知，基体材料的塑性变形可促进六节点手性结构的拉胀性能，随着塑性区的扩大和塑性应变的增加，结构拉胀性能持续增强.当变形继续增大时，手臂弯曲变形也在持续增大，引起了中心圆环的畸变，减弱了圆环的转动效应，从而导致结构的拉胀性能减弱.因此，基体材料的塑性变形在一定的变形范围内可促进六节点手性结构的拉胀效应，这也揭示了图3中反映的结构的拉胀性能随基体材料塑性模量的减小而增加的演化规律.

为观察塑性模量对六节点手性结构在整个面内的拉胀性能的影响，图5进一步给出了不同塑性模量、不同变形程度时结构的面内等效泊松比—取向角度的极坐标图.

分析图5可知，六节点手性结构的面内负泊松比响应为初始各向同性的(即图像是一个标准的圆)，随着变形的增加，负泊松比响应转为各向异性，且图像具有60°的旋转对称性.进一步比较图5的3个图像可知：1)当基体材料为纯弹性时，结构的面内拉胀效应(负泊松比绝对值)均随着变形的增加而减弱，趋势与取向为θ=0°时一致(见图3)；2)当基体为弹塑性材料时，结构的面内拉胀效应(负泊松比绝对值)随着变形的增加呈现先增强后减弱的特征，趋势与取向为θ=0°时保持一致(见图3).因此，基体材料的塑性变形在一定的变形范围内可促进六节点手性结构在整个面内的拉胀效应.要获得拉胀性能更好的六节点手性结构，需尽可能使用屈服应力低且塑性模量小的材料.

2.2 三节点反手性拉胀结构

为考察塑性模量对三节点反手性结构整体力学性能的影响，研究了θ=0°(角度定义见图2)时三节点反手性结构在不同塑性模量下的泊松比响应，其结果如图6所示.首先分析基体材料为理想弹塑性的情况.由图6可知，在A点(等效Biot应变约为1.2%)之前，结构拉胀性能有缓慢减弱的趋势(泊松比的绝对值缓慢减小)；在A点之后，结构的拉胀性能开始迅速减弱(泊松比的绝对值明显减小)，并且在大约4%的等效Biot应变范围内持续减弱，但随着变形的增加，拉胀性能减弱的趋势逐渐减缓.当变形达到一定程度后，拉胀性能基本保持不变(泊松比的绝对值近似保持为常值).

图6 不同塑性模量下三节点反手性拉胀材料的等效泊松比演化曲线(θ=0°)

为考察三节点反手性结构的变形机理，图7给出了基体材料为理想弹塑性材料，该结构在不同变形程度时(图6中点B、C、D、E对应的等效Biot应变分别为0.5%、2%、4%、9%)的等效塑性应变云图.为便于观测，图7只取了元胞的1/6(图2中的红色三角形阴影部分)进行分析.由图7可知，该结构的拉胀性能同样也源自变形时手臂的弯曲和中心圆环的转动，但比较图4和图7可知，在相同基体材料同等变形条件下，三节点反手性结构的手臂弯曲和中心圆环的转动效应要弱于六节点手性结构，因此图6中体现的三节点反手性结构的拉胀效应要弱于图3中六节点反手性结构的拉胀效应.

图7 基体材料为理想弹塑性材料时三节点反手性结构在不同变形程度时的等效应变云图(θ=0°)

进一步对比各点对应的泊松比和等效塑性应变云图可知，与六节点手性结构相反，基体材料的塑性变形反而抑制了三节点反手性结构的拉胀性能，并且随着塑性区的扩大和塑性应变的增加，结构拉胀性能持续减弱.这也揭示了图6中所反映的结构的拉胀性能随基体材料塑性模量的减小而减小的演化规律.

为进一步观察塑性模量对三节点反手性结构在整个面内的拉胀性能的影响，不同塑性模量、不同变形程度时结构的面内等效泊松比—取向角度的极坐标图如图8所示.分析图8可知，三节点反手性结构的负泊松比响应为初始各向同性，但随着变形的增加，负泊松比效应转为各向异性，且图像具有60°的旋转对称性.

图8 不同塑性模量时三节点反手性拉胀结构的面内负泊松比响应

进一步比较图8的3个图像可知，无论何种基体材料，结构的面内拉胀效应(负泊松比绝对值)均随着变形的增加而减弱，当为弹塑性基体材料时，这种减弱的趋势要大大快于弹性材料，减弱的趋势也随着塑性模量的减小而增加.因此，基体材料的塑性变形会抑制三节点反手性结构在整个面内的拉胀效应.要获得拉胀性能更好的三节点手性结构，需尽可能使用弹性性能好和塑性模量更大的材料.

3 结 论

本研究采用基于ABAQUS软件的有限元均匀化方法，利用“Homtools”插件，系统考察了六节点手性拉胀和三节点反手性拉胀结构在弹塑性大变形下的拉胀性能,得到了如下结论：

1)两种拉胀结构的负泊松比响应都是初始各向同性的，但随着变形的增加，负泊松比响应转为具有旋转对称性的各向异性，且旋转角为60°

2)基体材料的塑性会促进六节点手性结构的整个面内的拉胀性能，但会抑制三节点反手性结构的面内拉胀性能.