张文伟

平面向量是高中数学的重要概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，并且是有效解决几何问题的一种有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、共线、轨迹等就可以转换成向量的加减法、数乘向量、数量积运算，从而将图形的基本性转化为向量的运算体系。平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它是联系众多知识的媒介与桥梁，因此以向量为工具成为高考命题的一个亮点。下面就平面向量常见的典型考题举例分析，供大家学习与参考。

题型1：向量的有关概念

零向量和单位向量的两个注意点：零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等;单位向量的方向不定，所有的单位向量不一定相等。共线向量与平行向量的区别与联系：平行向量也称为共线向量，共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的共线不同;平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度。

例1 下列说法正确的是（ ）。

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

解：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，A不正确。方向相同的向量也不能比较大小，B不正确。向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，C不正确。向量的模是一个数量，可以比较大小，D正确。应选D。

跟踪训练1：给出下列四个命题：①若向

量a=AB，b=BA，则|a|=|b|;②若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反;③若向量AB是单位向量，则BA也是单位向量;④以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆。

其中正确命题的序号是_____ 。

提示：因为| a|=|AB|=AB，|b|=|BA|=BA =AB，所以|a|=|b|，①正确。长度为1个单位长度的向量称为单位向量，单位向量的方向是任意的，②不正确。因为|AB|=|BA|，即两向量的长度相等，所以当AB是单位向量时，BA也是单位向量，③正确。因为|AP|=1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点。反过来，若点P是以A为圆心，1为半径的单位圆上的一点，则|AP|=1，所以向量AP是单位向量，④正确。答案为①③④。

题型2：向量的表示及应用

向量的两种表示方法：（1）几何表示法，先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点;（2）字母表示法，为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用有向线段的起点与终点表示向量，如AB，CD，EF等。用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础;用字母表示法表示向量，便于向量的运算。

例2某人从A点出发向东走了5m到达B点，然后改变方向按东北方向走了10√2m到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10 m到达D点

（1）作出向量AB，BC，CD。

（2）求AD的模。

解：（1）由题意作出向量AB，B，CD，如图1所示。

（2）由题意知，∠DBC=∠DCB=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10√2（m），CD=10（m），所以BD=10（m）。△ABD是直角三角形，其中∠ABD =90°，AB =5（m），BD=10（ m），所以AD=5√5（m），所以|AD|=5√5-（m）。

跟踪训练2：某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围。

（1）作出向量AB，BC，CD。

（2）求|AD|。

提示：（1）由题意作出向量AB，BC，CD，如图2所示。

（2）由题意知，AB与CD方向相反，所以AB与CD共线，即AB∥CD。又|AB|=|CD|，即AB=CD，所以AB∥CD，所以四

边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，则|AD|=|BC|=200（km）。

题型3：相等向量和共线向量

相等向量与共线向量的探求方法：（1）寻找相等向量时，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线;（2）寻找共线向量时，先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。需要注意的是，在求解与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量。

例3 若四边形ABCD是矩形，则下列说法不正确的是（ ）。

A.AB与CD共线

B.AC与BD共线

C.AD与CB的模相等，方向相反

D.AB与CD的模相等

解：因为四邊形ABCD是矩形，所以AB与CD共线，AD与CB的模相等且方向相反，AB与CD的模相等，AC与BD不共线。应选B。

跟踪训练3：设a，b是两个平面向量，则“a=b”是“|a|=|b|”的（ ）。

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

提示：若a=b，则lal=lbl，而lal=lbl不能推出a=b，所以“a=b”是“|a|=|b|”的充分不必要条件。应选A。

题型4：向量的加减法运算

向量加法运算的两种方法：代数法和几何法。求作两个向量的差向量的两种思路：把两个向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量;利用向量的加法求差向量，如a-b，先作-b，然后作a+（一b）即可。向量的加减法

运算的常用变形：运用AB= -BA化减为加; 运用AB +BA =0或AB+BC=AC化繁为

简;运用AB =OB -OA转化为共起点的两个向量的差。

例4 若P为△ABC的外心，且PA+PB =PC，则∠ACB=____。

解：因为PA+PB=PC，所以四边形APBC是平行四边形（图略）。又P为△ABC的外心，所以|PA|=|PB|=|PC|。由此可知∠ACB=120°。

跟踪训练4：如图3，已知O为平行四边 形ABCD内一点，OA =a，OB =b，OC =c

用a，b，c表示OD。

题型5：向量的数乘运算

证明或判断三点共线的两种方法：一般来说，判断A，B，C三点共线，只需存在实数λ，使得AB=λAC（或BC=λAB）即可;若存 在实数x，y，使得OA=x OB+yOC且x+y=1，则A，B，C三点共线。证明向量共线，可根据向量共线定理，寻求唯一实数λ，使得b=λa（a≠0）。已知向量共线求参数的值，可根据向量共线的条件转化为相应向量的系数相等求解。若两个向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程求得参数的值。

例5 已知两个非零向量a与b不共线。

（1）若AB=a+b.BC=2a +8b，CD一3（a-b），求证：A，B，D三点共线。

（2）试确定实数k，使得ka+b与a+kb共线。

解：（1）欲证A，B，D三点共线，只需证明存在实数λ，使得AB=λBD即可。

由AB=a+b，BC=2a+8b，CD=

3（a-b），可得BD=BC +CD=2a +8b+3（a-b）=5（a+b）=5 AB，所以AB，BD共线。又AB，BD有公共点B，所以A，B，D三点共线。

（2）由两个向量共线，列出关于a，b的等式，再由a与b不共线求解。

由ka+b与a+kb共线，可知存在实数λ，使得ka+b=λ（a+kb），即ka+b=Aa+Akb，所以（k-λ）a=（λk -1）b。因为a，b是不共线的两个非零向量，所以k-λ=λk -1=0，可得k2 -1=0，解得k=±l。

跟踪训练5：设a，b是两个不共线的向量。若向量ka +2b与8a +kb的方向相反，则k=____。

提示：因为向量ka +2b与8a +kb的方向相反，所以ka+2b=λ （8a +kb）。由向量 。

题型6：向量的数量积

求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键。求向量的模，一般转化为求模的平方，且与向量的数量积联系，灵活运用公式a2= |a|2，最后勿忘开方。利用a·a=a2= |a|2或|a|=√a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。

题型7：平面向量基本定理

如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a =λ1e1+λ2e2。同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底，基底不唯一;同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的;基底给定时，分解形式唯一。e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，当a与e1共线时，λ2=0;当a与e 2共线时，λ1 =0;当a=0时，λ1 =λ2 =0。由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底向量。

题型8：平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量的正交分解的实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基底向量e1和e2互相垂直。由向量坐标的定义可知，两个向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a =b<=>x1 =x2且y1=y2，其中a=（x1，y1），b=（x2，y 2）。向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关。当向量确定以后，向量的坐标就唯一确定了，因此向量在平移前后，其坐标不变。

题型9：平面向量数乘运算的坐标表示

两个向量a= （x1，yl）与b=（x2，y2）共线的三种表示方法：当b≠0时，a=Ab，这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系;x1y2 -x2yl =0，这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数，从而减少未知数的个数;当Xx2y2≠0时， ，即两向量的相应坐标成比例。

题型10：平面几何中的向量方法

用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;（2）通过向量运算，研究几何元素的关系;（3）把运算结果“翻译”成几何关系。这三部曲给出了利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想。在解决平面几何问题时，将平面问题转化为向量问题是关键。

例10 已知A，B，C，D四点的坐标分别为（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），则此四边形为（ ）。

题型11：向量在物理学中的应用

数学是物理解题过程中不可缺少的工具，向量是物理问题简化的有力法宝。用向量方法解决物理问题的“三部曲”：（1）把物理问题中的相关量用向量表示;（2）转化为向量问题中的模型，通过向量的运算使问题得以解决;（3）把结果还原为物理问题。沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（ ）。

A.90°

B.30°

C.45°

D.60°

提示：由題意画出图形，如图8所示。

题型12：余弦定理、正弦定理的应用

利用余弦定理和正弦定理可以解决求值问题，测量距离问题、高度问题、角度问题、面积问题等。

跟踪训练12：如图9，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（√3一1）km的B处有一艘走私船。在A处北偏西75°方向，距A处2 km的C处的我方缉私船奉命以10√3km/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 km/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜。问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？求出所需时间。