方苏云

【摘   要】聚焦小数除法高频率错误，链接与之密切相关的“除数是两位数的除法”单元进行整体教学，从“横向重组，精炼单元整体架构;纵向拓展，完善单元间联系;纵横交错，关联内在核心指向”三个维度，通过大概念将原本分散的知识进行整合，让学生经历建构完整知识体系的过程，促进学生有深度的结构化学习。

【关键词】大概念;单元教学;关联缺失;重组拓展

基于大概念展开单元教学已成为当前学科教学中落实核心素养的趋势。数学大概念指向数学核心内容与核心教学任务，它能反映数学本质，是将数学关键思想和相关内容联系起来的关键“锚点”。小学数学学习一般以“册”为基准，以“单元”为目标，分“课时”进行，教学中师生都较少关注单元间的关联。下面以人教版教材五年级上册“小数除法”和四年级上册“除数是两位数的除法”这两个单元的内容为例，基于大概念，从知识关联的视角对不同单元间的知识进行重新审视与研究，提出重组拓展的对策。

一、点击“小数除法”计算的高频率错误

教学中发现，学生在“小数除法”计算中的错误率明显高于“小数乘法”，尤其是错在：商中间有“0”的小数除法;被除数、除数“小数位数不同”的除法;转化后成为“多位数除以两位数”的除法。仔细琢磨后发现，小数除法中“商中间不够商1就商0”与整数除法的处理方法是相同的，而“被除数的小数点是随着除数的小数点移动位数而定的”是小数除法的关键，即将小数除法转化成除数是整数的除法来计算，照理学生不应该出现如此高频率的错误。思索之余，自然联想到学生是否在四年级上学期“除数是两位数的除法”学习中出现了“断层点”，是否积累了充足的除法计算经验。因此考虑，或许能在“除数是两位数的除法”与“小数除法”这两个单元中找到根治的“药方”。

二、解读两单元教材，链接教学关联与缺失

为进一步寻找错因，有必要再次阅读两单元教材，厘清教材的“序”，打通知识的“脈”，整体剖析两个单元之间的内在关联与缺失。

（一）解读教材内容编排结构

1.“小数除法”单元

教材编排紧扣“被除数的小数点是随着除数的小数点移动位数而定的”这一关键点，引导学生按整数除法的计算方法进行运算。内容安排逐步递进，螺旋上升，例题及“做一做”中的绝大多数习题是两位数除两位数、两位数除三位数、两位数除四位数，在“商的近似数和循环小数”中甚至涉及两位数除五位数、两位数除六位数，商是多位数的除法。

2.“除数是两位数的除法”单元

教材一共编排了10个例题，包括除数是两位数的口算、笔算、商的变化规律及简便计算。内容编排注重层次性，强化试商的经历，展现计算思路。但仔细梳理后发现，绝大多数习题是两位数除三位数、两位数除两位数，商最多是两位数的除法。

（二）厘清两个单元教学的关联

从图1中可以清楚地看到，小数除法的算理基础是小数的意义和性质，算法基础是整数除法，无论在知识技能上，还是在思想方法上，都与“除数是两位数的除法”密切关联。

（三）分析对比明了“缺失”所在

1.“除数是两位数的除法”中，商是两位数的练习量缺失

“除数是两位数的除法”是整数除法的最后部分，在一定程度上影响着“小数除法”的学习，但教材中“商是两位数的整数除法”例题数只占该单元例题总数的40%;小题数约占单元小题总数的18%;绝大部分习题中的商是一位数。可见，商是两位数的练习量明显不足;商是三位数、四位数的几乎没有。显然，这对后续学习“小数除法”的计算埋下一定的“隐患”。

2.“除数是两位数的除法”中，“两位数除多位数”内容缺失

“小数除法”单元中安排了“商中间有0、商是多位数”的习题，反观“除数是两位数的除法”单元，根本没有安排“两位数除多位数，即商是多位数”的除法。的确，在除数是一位数的除法中，学生经历过商是多位数的计算过程，但“小数除法”中的绝大部分计算转化后是“除数是两位数的整数除法”，因此有理由相信“两位数除多位数”内容的缺失，是造成“小数除法”出错的源头。

面对上述关联与缺失，展开如下探讨与思辨：一是如何弥补缺失;二是在弥补过程中课时怎么调整;三是用怎样的理念支撑研究行为。笔者结合教学实际及学生情况，基于大概念教学理念，尝试对单元教学内容进行整合、重组与拓展，依托大任务、大问题达成教学目标。

三、基于大概念，对单元内容进行重组与拓展

大概念即核心概念、共通概念，并非数学教学中具体的某个概念，而是指向数学学科的基本结构和方法，是其他知识得以发生与依附的主根。“除数是两位数的除法”与“小数除法”两个单元间的重组与拓展，就是通过大概念将分散的知识进行链接，以促进学生的结构化学习。

（一）横向重组，精炼单元整体架构

知识间的横向交融能形成一定的知识脉络，与学生的认知结构建立关联，使数学学习在结构中具有再生力。

1.“除数是两位数的除法”单元重组——基于大概念“除数是整十数的除法”

从大概念视角看“除数是两位数的除法”单元内的所有知识，都可由“除数是整十数的口算、笔算”孕育而出。其中，“笔算除法”中的例1～例7，任何一个两位数的除数，都可看作整十数来试商、调商，用“除数是整十数的除法”这个大概念来重组，可以使知识体系结构更主干化。重组前后对比如图2所示。

2.“小数除法”单元重组——基于大概念“除数是整数的除法”

将“小数除法”转化成“整数除法”来计算是本单元的内核。将例1～例3和例6～例8按“除数是整数的小数除法”来重组，让学生在充分理解并掌握计算方法后，再学习“除数是小数的除法”，可以使知识结构更简洁，思路更清晰，脉络更整体，能让学生领悟小数除法的本质——转化成“除数是整数”的思想方法。重组前后对比如图3所示。

（二）纵向拓展，完善单元间联系

数学的知识技能、思想方法的纵向深度发展往往直接影响着学生的后续学习。学生只有在前一阶段理解掌握的基础上，才能顺利进入下一阶段的深度学习。

1.“除数是两位数的除法”单元拓展——基于大概念的“整数除法的计算思想原理”

为有效防止“小数除法”计算中高频错误的发生，对“除数是两位数的除法”单元进行纵向拓展，主要指向两位数除多位数。拓展学习路径如图4所示。

通过大问题驱动学生思考，让学生在自主编题、互查互纠中熟练方法;在分类比较中，进一步理解两位数除多位数的计算方法;在对比辨析中，掌握确定商的位置的策略。经历了“散—聚”的学习过程后，学生的思维会更加深刻。

2.“小数除法”单元拓展——基于大概念的“整数除法中商的变化规律”

本节拓展课重在探究小数除法的商和余数的变化规律，用大问题推动教学，并融入计算器教学，引导学生观察发现规律并加以运用。拓展学习路径如图5所示。

启动整数除法“商的变化规律”经验，研究小数除法“商的变化规律”，能帮助学生在知识技能和活动经验积累上进行系统的关联，让小数除法的商与余数规律也更加清晰明了化。

（三）纵横交错，关联内在核心指向

因篇幅限制，着重对“除数是两位数的除法”中“口算”和“笔算”两节课进行阐述，体现关联的内在核心指向。

1.探寻口算除法的秘密——指向内容的关联

教材第87页例8所呈现的内容是学生掌握口算除法的基础。因此在口算除法第一课时设计了大任务“探寻口算除法的秘密”，目的是打通口算除法与商的变化规律之间的关联。整体思路如图6所示。

教学前对学生进行了前测，内容包括“直接写出得数”“用自己喜欢的方式表示”和“算算、想想，你发现了什么”，主要目的是找準教学起点，摸清关联抓手。从前测数据来看，学生对除数是整十数的口算除法具备一定的经验与基础，50%以上的人能用图式、算式、语言来表述除数是整十数的口算除法，但对商的变化规律比较陌生。因此，实际教学中的重点是理解“口算”算理，难点是理解商的变化规律，将算法熟练融入到找商的变化规律中。

实际教学后对学生（共计84人）进行了后测，后测内容与前测内容基本一致，增加了运用商的变化规律解决问题的内容，正确率统计如表1所示。

从统计数据看，将商的变化规律融入口算除法教学，学生自主学习积极性高，且口算练习不枯燥，练习量也得到保证。

2.除数是整十数的笔算除法——指向方法的关联

将教材中例1、例2、例3（1）、例4、例6，用大任务串联，紧紧围绕“除数是整十数的笔算除法”这一内容，运用情境图及小棒图表征算理与算法，在“题组”对比中，学生感知到“除数不是整十数的笔算除法”与“除数是整十数的笔算除法”存在关联，体会到计算方法的相通之处。整体思路如图7所示。

教学前对学生进行了前测，内容包括笔算除法、试商基础、解决问题。从前测统计数据看，学生具有一定的试商基础，近50%的人能正确填写最大数，但用竖式计算基本不会。实际教学中的重点是理解用“竖式”如何表征计算过程，掌握正确的书写方式，计算时，把除数看成“整十数”来试商，在对比中突破“商的位置的确定”，掌握计算方法。

实际教学后对学生（共计84人）进行了后测，测试内容主要是笔算除法、商位数的确定和解决问题，正确率统计如表2所示。

从统计数据来看，学生经历这节课后，用竖式计算掌握得很不错，近50%的人能进行两位数除多位数的竖式计算;在商位数的确定上正确率达到70%以上。

3.两位数除多位数和小数除法的规律——指向活动经验、思想方法的关联

“小数除法的规律”的教学着重利用整数除法中“商的变化规律”思路展开;“两位数除多位数”的教学则沿用“除数是整十数”的思想方法展开，这两节课都在大问题驱动下，对活动经验、思想方法进行了关联。学习路径在前面已阐述，不再赘述。

四、单元后测对比与思考

（一）后测对比

对实验班与对比班各84人进行了单元后测，后测主要聚焦“小数除法”单元，包括小数除法规律的应用（商的变化规律14题，探索余数规律3题）、竖式计算（8题）、解决问题（2题）三大方面，正确率如表3所示。

从统计数据看，对小数除法中余数意义的理解及小数除法规律的应用，实验班的正确率明显高于对比班，特别是商中间有“0”的被除数是多位数的除法，实验班正确率依然高于对比班;在解决问题中，没有非常明显的差异，但从试卷看，对比班有列式错误和计算错误，而实验班只有计算错误。

（二）分析思考

综观整个研究过程，基于大概念指导研究与实践行为，在纵横交错中架构单元间知识、方法、经验的关联，形成大结构体系，能有效促进学生深度学习的发生。然而，这样的回溯研究经历时间长、跨度大，研究中可变因素较多，在控制影响因素上具有一定的挑战性。

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]周卫东.高观点视角下的小学数学教学[J].教育研究与评论（小学教育教学），2018（8）.

[3]葛燕琳.关注大概念   立足单元设计   发展核心能力[J].地理教学，2019（15）.

（浙江省杭州市富阳区教育发展研究中心   311499）