虢小鹏

摘 要：“圆”这一单元在小学数学“图形与几何”板块有着重要的地位，学生对于圆的面积推导的学习，相比直边图形的面积推导要困难许多。课程标准这种对圆的面积的学习目标的要求是“探索”和“掌握”——探索并掌握圆的面积公式，也就是要求学生对圆的面积公式进行探究，发现圆与已学过的平面图形存在的联系和区别，从而找到探究的方向和思路，获得理性、严谨的认识。在探究过程中，教师需要制定科学的“任务量表”，以便掌握学生的学习情况，提高教学效果。

关键词：圆的面积;表现性;任务评价;量规

中图分类号：G62          文献标识码：A          文章编号：1673-9132（2022）12-0148-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.12.050

数学课堂学习活动在某种程度上是由“交流”构成的，是学习者与数学问题的交流、与自身的交流、与同伴的交流。高质量的交流源于互动式的数学活动，而承载这些活动的，是教师精心设计的具有挑战性的学习任务，使学生借此去真研究，真思考，真理解。

在课堂教学中使学生形成积极正确的数学情感态度与价值观，是现今小学数学教学中的一个重要目标。而达成这一目标的关键，一是教师依据教学内容设计科学的学习任务，让学生自主去探究;二是教师课前设计好教学任务后，要预设出与之相适应的能够反应出学生学习表现的评价量规。教师凭借这个“量规”掌握学生对数学知识、数学概念、数学思想、数学方法等的学习情况，以及发现、分析和解决问题的水平，从而更好地去组织教学，并及时调整自己的教学策略。下面以六年级“圆的面积”一课中的探索教学环节为例，探讨、分析表现性学习任务及其量规的设计与实践。

一、从概念本质出发，设计有挑战的表现性任务

数学课堂中表现性学习任务要具备问题情境性和一定的難度，任务的最终目标是让学生达成较高水平的数学思维和学习结果，如多样的解决问题的方法或情感态度价值观的培养。在小学阶段，表现性的学习任务要能揭示数学知识本质，同时遵循教育规律，瞄准教学目标，并适当加以教学留白，从而有助于学生自主思考、交流探讨，进而引发思维的碰撞。

（一）根据面积本质来设计任务

面积是二维概念，学生应先了解其度量意义：一是将边长为1个单位长度的正方形作为面积单位;二是“运动不变性”，即图形经过有限次的平移、旋转后面积大小不变;三是“有限可加性”，即两个不重叠的图形合并后的图形的面积，等于这两个图形的面积之和。

“圆”这一单元的学习，是学生对“形”的认识过程中，由“直边”进入“曲边”的重要一步，数学思想从“有限”踏入“无限”的重要一环。学生在直边图形面积公式推导过程中所掌握的“化归思想”，在圆的面积计算公式推导中同样适用;学生在推导过程中，需要实现化曲为直、有限和无限、近似和精确的转换，这是一个科学辩证过程。

在圆的面积公式的推导环节，教师要结合其本质特性，设计有助于学生思维发散的学习任务，使学生通过数方格、剪拼等方式，将圆转化成已知的图形，从而引导学生感受化曲为直的研究策略，感悟极限思想和转化思想，进而发展学生的逻辑推理能力（既有演绎，又有归纳）以及空间想象能力。

（二）设计的任务要有助于不同水平学生的发展

圆的面积的教学是教师在学生认识了圆的特征及其本质属性的基础上展开的，因此在讲解圆的面积的知识之前，教师要准确掌握学生已有的知识能力水平，深化学生对圆的各部分与圆的面积之间的联系（半径决定圆的大小）的认知，还要加深对圆的面积相关因素的分析（半径、直径、周长），同时对探究圆的面积公式的方案要进行细致的指导。

新课开始时，教师要让学生复习长方形、平行四边形的面积公式的推导过程，总结出探索图形面积的基本策略是数方格，将其转化为已知图形，并让学生进一步回忆平行四边形的面积公式的探索过程，得出剪拼、观察、推理的活动步骤。

教师设计的学习任务要让不同层次的学生都能动手操作，并呈现出不同的思维方式，使学生在合作互助和思维碰撞中实现知识的获取和情感的愉悦。班级中不同层次的学生的思维深度与广度是不同的，通过对他人想法的倾听和不同思维的碰撞，学生会更有兴趣去探究，从而完善自己的思考方式，加深对圆的面积公式的理解。

基于对教学目标和学生的思考能力，教师设计“圆的面积”一课时的表现性任务时，可以向学生提出以下问题：回忆之前的学习经历，你能否设计一个方案来推导出圆的面积公式？可以用数、剪、拼、画等方法表现你的设想，并说明你的理由。你在研究过程中有什么疑惑？学生可以先独立完成，然后在小组中进行交流，最后在全班进行汇报分享。

二、针对表现性任务的评价量规设计

表现性学习任务有一定的难度和复杂性，学生的学习不能简单地选择“接受”或“不接受”，而是有一定的主动建构过程。教师的评价也不能是简单的“对”或“错”，而是应该在课前对不同层次的学生可能达到的水平进行预设，制定不同的评价量规，依此来调控课堂，评判学生学习实况。

综合型的量规与指向特定学习任务的量规是两种常用的课堂活动监测工具，“圆的面积”一课运用的是指向特定学习任务的量规。一个应用性、规范性强的评价量规应该由四个部分组成：表现维度、表现等级、描述符和表现样例。表现维度指学生完成任务过程中的不同阶段的表现;表现等级指围绕任务目标学生能达到的不同水平程度;描述符指针对学生不同水平程度的表现行为的具体描述，以此来对学生的思维进行打分;表现样例则指每一水平的学生的作品或者外显的思维（口头描述）。这种分维度、分等级、有评价要素的量表，有助于教师诊断教学和学生的自我评价。

在具体的操作过程中，教师课前（备课中）对教学内容和学生的层次水平要做到心中有数，如水平较高的学生能够完成什么任务，水平相对不足的学生又能达到什么学习程度，最后确定不同等级的数目（一般3-5个左右），同时匹配上各水平的“描述符”，即可形成一份指向特定任务的评价量规。

下面以“探究圆的面积公式”这一表现性任务为例，对评价的指标、要素和整体的评价量规进行具体说明。

小学阶段对“无限”概念的传授，一是用有限的动态方式来体现无限的过程，如“两条直线永不相交”;二是用极限的方法来处理无限，如圆的周长和面积探索。

在将圆进行转化的过程中，学生通过动手操作（数、剪、拼），能够直观经历极限的想象过程，也就是在观察“有限分割”的基础上，去想象“无限分割”。不同层次的学生在交流中互相启发，从而使各自的思维达到更深层次。

学生在观察过程中发现正方形的边长等于圆的半径，正方形的面积等于圆的半径的平方。圆的面积与正方形的面积的倍数关系就是圆的面积与它的半径的平方的倍数关系。得出结论：“圆的面积是它的半径的平方的3倍多一些”，也就是圆的面积大约等于r×r×π。

三、评价量表要以达成教学目标为初衷

教师要根据所设计的评价量规去观察、诊断学生的学习成果，并让学生进行交流和讨论，引发学生更深层次的思考。同时教师也要进行引导和提示，促使学生更好地达成学习目标。

学生在自主研究完“圆的面积公式”后，就进入作品交流展示环节。一般来说，此环节中，教师基本有三种策略：一是按照学生从低到高的水平分析作品;二是展示最高水平的成果，再对比低水平成果中存在的问题，并进行完善和调整;三是同时对比、分析不同水平的成果，组织学生讨论其相同点和缺憾。“圆的面积”一课应采取第二种策略，使学生在思维的碰撞中擦出灵感的火花，更深入地探究圆的面积与半径之间的关系，从而提升学生的学习兴趣，让不同层次的学生在交流、讨论的过程中都能有所思、有所得。

本课中，学生的思维难点在于“为什么最终会是一个长方形”，在学生看来，有限的等分成小扇形后，它们的弧依然是曲边，拼成的近似长方形的长是一条曲线。因此教师要引导学生进行想象：当等分的份数趋向于无限的时候，拼成的图形才越来越接近长方形，长方形就是这个“无限图形”的终极形态。

圆的面积公式的推导有其特殊性，需要学生经历“化曲为直”操作过程，感悟“极限思想”的内涵，在有限和无限、近似和精确中转换思维。教师在教学前要找准学生的知识起点;教学中要及时掌握学生的思维动态，让学生参与连贯的、系统的推导过程;教学后要让学生在知识与技能方面进行实践，运用所学知识、思想、方法等来解释现象，解决问题。

四、结语

评价量规的研制，对于教師有效组织教学有着深远的意义。量规的“研制”对教师的基本功有着较高的要求：清晰准确地把握教学目标，思考有助于学生多元思维的表现性任务，对学生的表现进行分类、研判，从而及时调整自己的教学。

参考文献：

[1] 邵虹.圆的面积教学研究[M].北京：教育科学出版社，2014.

[2] 邵虹.找准学习起点，捕捉思维动态，渗透极限思想——“圆的面积”教学实践[J].小学教学设计（数学），2018（12）.

[3] 刘加霞，张殿军.数学表现性评价任务及其量规的设计与运用——以“圆的认识”为例[J].小学教学（数学版），2021（2）.

[责任编辑 康兰明]