张本红

(青岛中学)

高考概率统计解答题的出题背景越来越复杂,目前对高考数学试题的研究较多,但对高考试题出题背景的研究较少,尤其是对概率统计出题背景的研究.笔者以2019年高考数学全国Ⅰ卷理科第21题为例,从马氏链、差分方程等高等数学的视角出发,对高考概率统计题的试题背景进行分析,并给出一个典型例题,便于读者进一步研究.

1 试题回顾

题目 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得－1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得－1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i＝0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0＝0,p8＝1,pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2,…,7),其中a＝P(X＝－1),b＝P(X＝0),c＝P(X＝1).假设α＝0.5,β＝0.8.

(ⅰ)证明:{pi＋1－pi}(i＝0,1,…,7)为等比数列;

(ⅱ)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

2 试题背景分析与研究

事实上,用Xn表示甲药在第……