李树森

(南昌县莲塘第一中学)

在函数与导数的综合问题中,常常涉及多个变量(如x,a等),解题的常规思路是将函数看成关于x的函数,其他变量视为参数,这样常常可以通过分类讨论或分离参数使问题获解,但是面对一些导数试题这样操作可能会导致问题复杂化.如果处理问题时能善于分析题目的结构特征,转换视角,尝试将另外一个变量视为主元,通过研究函数的性质,求函数最值,这样另辟蹊径,往往能使问题得到简化.本文先对一道简单、常见的问题进行分析,谈变换主元处理与不等式有关的导数压轴题,供读者参考.

1 引出问题

例1 设不等式mx2－2x－m＋1＜0 对满足|m|≤2的一切m都成立,求x的取值范围.

解法1 可以将原不等式化为

解法2 将不等式化为(x2－1)m＋1－2x＜0,设f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,当|m|≤2 时,有f(m)＜0,由

解法1视x为自变量,m为参变量,先分离参变量m,再利用分类讨论处理问题.解法2视mx2－2x－m＋1＜0为关于m的不等式,通过构造以m为变量的函数f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,再求解问题.上述两种解法都运用了“主元思想”.所谓主元思想是指在含有两个或两个以上的未知量问题的解决过程中,选择一个未知量作为主要研究对象,而其他未知量视作为参数或常量.从解题过程来看,例1视m为主元比视x为主元要简便得多.事实告诉我们,若能稍微改变一下思维习惯,在含有多个变量的问题中,合理运用“主元思想”,优先考虑如何选择主元是十分必要的.

用“主元思想”解决函数与导数的压轴题会有意想不到的效果,接下来我们运用此思想继续……