张 平

(广东省珠海市实验中学)

数列是高中数学的重要内容之一,也是高考必考的知识点.以数列知识为背景或载体,通过数列的通项或前n项和相关问题考查学生对数列知识和方法的掌握程度.相关数列问题主要以求数列的项或比较项的大小、求数列不等式中参数的范围、求数列相关的最值、数列不等式的证明等形式出现,解题方法各不相同.下面,笔者结合具体的数列问题谈谈函数思想方法在研究和解决数列相关问题中的应用.

1 利用函数解析式求解

本题常规方法是利用ap＋aq＝ap＋q对任意的p,q∈N*恒成立的特性,通过赋值p＝1或q＝1将之转化为等差数列求解,或通过反复迭代求解.本题通过对条件ap＋aq＝ap＋q的结构特征进行挖掘,结合特殊函数及其性质构造适当的函数,然后利用函数的图像与性质求解.其他常用的形式如下,已知apaq＝ap＋q(p,q∈N*)可设an＝an(n∈N*),已知apq＝ap＋aq(p,q∈N*)可设an＝logan(a＞0,a≠1,n∈N*)等.

2 利用函数单调性求解

3 利用函数不等式求解

例5 (2018年浙江卷10理)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3),若a1＞1,则( ).

A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4

C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4

易知当x＞0时,lnx≤x－1恒成立,由a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3),得a1＋a2＋a3＋a4≤a1＋a2＋a3－1,从而a4≤－1,又a1＞1,可知公比q＜0.

若q≤－1,则a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1[1＋q(1＋q)]≥a1＞1,则ln(a1＋a2＋a3)＞0,但a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0,与已知矛盾;从而－1＜q＜0,此时a1－a3＝a1(1－q2)＞0,a2－a4＝a1q(1－q2)＜0,即a1＞a3,a2＜a4,故选B.

根据a1＞1 及选项知求解本题的关键是要借助a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)确定等比数列公比q的范围,再利用通项公式比较项与项的大小关系,最终确定答案.但由条件a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)得到公比q的范围并不是一件简单的事,因此利用lnx≤x－1(x＞0)这一结论得到公比q的大致范围,并通过分类讨论确定公比q满足－1＜q＜0,由此得出答案.另外本题还可结合选项直接对公比q的范围进行分类(q＜－1,－1＜q＜0,0＜q＜1,q＞1)求解,也可利用函数不……