郑庆刚

(山东省济南市莱芜第一中学)

本文主要以2021年全国乙卷的数列试题为研究对象,对该题的母题来源进行分析,并以该题为基础进行变式研究,以期达到会一题、通一类的效果.

1 真题分析

2 母题探究

母题1 (2020年全国Ⅰ卷理17)设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.

2021年全国乙卷的数列试题在2020年的基础上增加了难度,但从解析中可以清晰地发现,考点和解决方法完全吻合,第(1)问都是以等比数列为背景,要结合等差中项进行计算,列出的式子也是关于公比的一元二次方程,第(2)问都是考查了错位相减法求和.区别仅在于2021年的试题增加了等比数列的求和.

母题2 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且满足d＝－2,S4＝76.等比数列{bn}满足b1＋b3＝10,b2＋b4＝20.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)设cn＝(23－an)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.

分析试题发现2021 年的全国乙卷的数列{bn}和本题的数列{cn}相对应,都是考查了错位相减法求和,题干都是以等差数列、等比数列为命题背景,该题考查了等差数列的前n项和公式,真题则是考查了等比数列的前n项和公式.

3 变式研究

通过对真题的分析发现,解决数列问题首先应掌握数列的基础知识,要掌握常见的数列求和方法.下面以母题为原型,对该题进行深入探究,作出以下变式,供读者赏析.

变式1 已知数列{an}是公差为2的等差数列,它的前n项和为Sn,且a1,a3,a7成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;