翁 标

(福建平潭岚华中学)

多元条件最值问题是高考的一个热点,代数变形、合理转化、换元消元、配方化简是常见的解题技巧,解题时要对主元思想、方程观点、函数思想等不断琢磨、反复思考.本文对处理多元条件最值问题的常用求解方法进行归纳总结,以期帮助学生开阔解题思路,锻炼学生灵活应用知识分析和解决问题的能力.

1 判别式法

判别式法是将所求的最值问题转化为一元二次方程有根的问题,然后利用方程有根的充要条件,得到判别式大于或等于零,进而求解所需最值.

例1 已知2x2＋3xy＋2y2＝1,求z＝x＋y＋xy的最小值.

2 消元法

消元法是依据题设条件消去部分变量,将问题转化为一元函数的最值问题,这一方法体现了数学中的转化思想.

3 三角换元法

4 基本不等式法

5 柯西不等式法

柯西不等式是一个非常重要的不等式,巧妙地运用它可以使一些较为困难的问题迎刃而解.在使用柯西不等式求最值时,往往要采取一些技巧,如巧拆常数、巧变结构、巧设数组等.

6 几何法

几何法是受到线性规划问题的启发,将多元条件和所求式子同时体现在图形中,运用数形结合思想求最值.

例6 已知x2＋y2＝1,求2x＋y的最大值和最小值.

图1

实战演练 设实数x,y满足条件x2＋y2－2x＋2y＋1＝0,求x－y的最大值.

答案 2＋2.

多元条件最值问题技巧性强,方法灵活多变,我们在练习的过程中要注重不同方法间的比较.对于同一道题目,可以尝试用不同的方法求解,在不断练习的过程中体会其中蕴含的数学思想,品……