高成龙

(天津外国语大学附属外国语学校)

数列是高中数学中的重要知识,其中《普通高中数学课程标准2017年版2020年修订》在数列部分指出:一方面,要培养学生从实际问题抽象出数列模型的能力;另一方面,要体现数列是一种特殊的函数,通过列表、图像、通项公式表示数列,将数列融入函数中.因此,学习数列可以培养学生的数学建模能力,另外它独特的递推关系又可以培养学生的数学抽象、直观想象与逻辑推理能力.(an2＋bn＋c)·qn型数列涵盖了高中学习的等差数列、等比数列、差比数列、{(－1)n·(an2＋bn＋c)}型数列.本文利用特殊到一般的思想,对(an2＋bn＋c)·qn型数列中的a,b,c,q进行分类讨论,依次得到了以上数列的求和模型,最后给出一般的(an2＋bn＋c)·qn型数列求和模型.

1 等差数列求和模型

需要说明的是常数C,B的形式复杂,不要求强制记忆,解题时可根据S1,S2利用待定系数法求得.

2 等比数列求和模型

当a＝b＝0,c≠0时,an＝c·qn,此时{an}为等比数列,下面给出等比数列求和模型.

模型2 设{an}是首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列,则数列{an}前n项和模型为Sn＝Aqn－A,其中常数A可以由a1,q唯一确定.

3 差比数列求和模型

4 (an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0)型数列求和模型

当a≠0,q＝－1时,an＝(an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0),下面我们探究该类型数列的求和模型.

模型4 若数列{an}满足an＝(－1)n·(an2＋bn＋c),则{an}的前2n项和模型为S2n＝2an2＋(a＋b)n.

5 (an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1)型数列求和模型

模型5 若数列{an}满足an＝(an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1),则数列{an}的前n项和模型为Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A),其中A,B,C为待定系数,可以利用a1,a2,a3求得.

证明an＝(an2＋bn＋c)·qn＝aqn2·qn－1＋(bn＋c)·qn.

由模型3-1得数列{(bn＋c)·qn}的前n项和为An＝A1＋qn·(B1n－A1).

(an2＋bn＋c)·qn型数列求和模型Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A)是一个通用模型,它是数列求和模型的纽带,利用该模型能研究等差数列、等比数列、差比数列等系列数……