李亚琼 徐文彬 张海燕

摘  要：奇偶原理是重要的数学思维方式，它蕴含着思维的互斥性、排中律，其思维特点为对问题的整体把握和逻辑划分，其思维形式强调形象思维能力和逻辑思维能力，体现思维的深刻性和批判性. 借助对奇偶原理的理论分析，以期更准确地引导学生进入思维学习场，形成学习共同体，引导学生用数学思维系统地思考问题.

关键词：奇偶性分析;互斥性;排中律;逻辑划分

在数学教学中，教师有时会偏重对题型或解题方法的研究，强调发散思维的重要性. 然而，教师需要研究更一般的思维方式，对上述的做法起到辩证的互补作用，克服解题教学思想的片面性. 在数学教材中，数学思维方法并不一定以明显的方式呈现，更多是隐含在数学知识或解题过程中，这就需要教师通过对教材的钻研和分析来概括、提炼，从而在数学教学中结合具体情况加以运用.

一、问题的提出

是否可以通过将问题区分成两个互不重叠的类别，来解答问题？下面先看一个引例.

引例：骑士问题.

在一个[n×n]的国际象棋棋盘中，若将一个骑士棋子摆在任何一个棋格上，该棋子要按照国际象棋中的规定走法，将棋盘上的每一格都走一遍，问[n]是不是奇数？

引例的思路很容易理解，一个整数要么是奇数，要么是偶数，两者必居其一，这是整数自身的属性，用这种奇偶数性质解题的方法便是奇偶性分析或奇偶原理.

二、奇偶原理的理论探析

对于数学学习而言，重要的是从数学思维的特点出发来调控数学思维活动，提高思维活动的效率. 从理解奇偶原理的本质出发，研究奇偶原理的思维结构，以期用其指导数学教学，改进教师的教学方法，增强学生的思维功能，提高学生的思维水平和效率.

1. 奇偶原理的思维本质

奇偶性不仅可以用于区分奇数和偶数，还可以用于更一般的情况，可以延伸到任何两个互斥的集合[A]和[B]. 如果两个对象具有相同的奇偶性，意味着两个对象属于同一类. 奇偶原理的思维内涵渗透互斥性和排中律.

（1）互斥性.

奇偶原理的本质是利用问题对象的互斥属性来解决问题. 引例利用了[n]不是奇数就是偶数的属性来解题，假设[n]是奇数，利用反证法，推出矛盾，从而得出[n]是偶数. 这一过程抓住问题中奇偶的互斥属性作为思考问题的视角. 对问题的分类，要使得各子类别涵盖的范围之间彼此相互独立，不相互重叠或部分重叠，即分类不能重复，这就是互斥性原则，所以奇偶原理体现互斥性.

（2）逻辑性及排中律.

在使用奇偶原理时，需要符合知识（概念、命题等）的逻辑体系，具有逻辑特点，恪守逻辑规则，这就体现奇偶原理的逻辑性. 因而奇偶原理的思维特点体现逻辑思维的排中律，如引例中的[n]非奇即偶，这也体现了二分法的思想. 亚里士多德在《形而上学》中提到排中律，排中律是形式逻辑的基本规律之一，它是指在同一个思维过程中，一个命题不是真就是假，即命题[A]和命题[?A]必有一个成立，在同一思维过程中，对两个相互排斥的命题不能同时予以否定. 排中律强调的是非此即彼的二分法思想，即在对立的命题之间没有居间者，但很多情况下，这种分法是不完备的. 例如，在统计的检验问题中，一个检验统计量否定了原假设，并不意味就必须接受对立假设，所以奇偶原理的思维方式也有其局限性.

2. 奇偶原理的思维结构

结合奇偶原理的思维本质，笔者试图从思维形式、思维特点和思维品质三个方面去剖析奇偶原理的思维结构，目的在于运用其理论指导数学教学，改进教师的教学方法，从而更好地指导教学实践.

（1）“奇偶原理”的思维形式.

从思维活动总体规律的角度来看，奇偶原理的运用体现形象思维和逻辑思维的结合. 在奇偶原理的思维过程中，由于问题对象的数形特征和思维过程的知识抽象性，需要形象思维作为思维的先导，逻辑思维作为思维的核心. 从基本能力的视角来看，数学教学的主要目的应是培养逻辑思维能力和形象思维能力. 在奇偶原理的使用中，由于矛盾的双方相互否定，不存在中间地带，有非此即彼的逻辑，因而在反证法中经常使用，如引例就是利用[n]的非奇即偶性，运用反证法进行了证明.

（2）奇偶原理的思维特点.

在利用概念展开逻辑思维时，有时需要在数学推理证明的某一环节区分各種不同情形，需要对有关概念进行逻辑划分. 二分法是常用的一种划分方法，它把一个概念分为两个相互矛盾的概念. 例如，复数可以分为实数和虚数. 奇偶分析法中需要对问题对象进行逻辑划分. 有时也需要把问题划分成不相重叠的各种情形分别解决，再将结果叠加得到原问题的解. 所以，逻辑划分法的具体表现就是分类、分域进行讨论等.

（3）奇偶原理的思维品质.

数学思维的运演是以思维场的形式存在并活动的，奇偶原理的运用需要学习主体的智力参与. 思维活动的抽象程度和逻辑水平决定思维方法的运用程度，具体表现为需要对问题进行思考，抓住问题的本质和规律深入细致地加以分析和解决，即思维的深刻性. 奇偶原理的思维特点是需要对问题进行分析和定位，即奇偶原理的运用需要学习主体的自我判断，体现了思维的深刻性. 当然，任何一种思维方式都不是固定不变的，它需要学习主体在具体的思维活动中独立分析和理性思考，善于提出疑问，能够在解决数学问题的过程中不断总结、回顾和反思，自觉调控思维进程，自我评价解题思路，寻求解决方法，即思维的批判性. 例如，奇偶原理的不足之处就是当问题不满足排中律时，需要注意解题中的思维方法的迁移使用，而非生搬硬套思维模式. 当然，思维品质的发展与数学知识的教学密切相关，需要从整体原理出发，引导学生自觉掌握数学思维的基本方法和辩证策略，善于辩证地运用数学思维方法去分析具体问题、解决实际问题，只有这样，才能达到数学教学的目的.

三、奇偶原理的教学实践尝试

奇偶原理更多地运用于数论和组合数学中，通过对奇偶原理思维结构的分析和梳理，结合思维结构总结教学实践，以期更好地指导数学教学.

1. 在“函数与方程”中的运用

例1是奇偶性分析与函数的融合考查，利用“0是偶數”的属性和整数根的奇偶性特点，进行分析讨论，最后较为巧妙地证明出结论. 实际上，奇偶性分析也经常运用于方程问题. 例如，求[n-1！=nk-1]的全部整数解，这个问题中也需要从等式左右两边的奇偶性角度，分析[n]和[k]的整数解. 奇偶原理在“函数与方程”中的运用渗透培养学生的逻辑思维能力，提升学生思维的深刻性.

2. 在数列中的运用

例2是考查奇偶性分析与数列的融合，思考过程蕴含思维的灵活性和逻辑的严谨性，这类考查经常从[n]或[an]的奇偶性出发分类讨论，从而解决问题.

3. 在概率统计中的运用

组合数是高中数学知识，在高中数学的研究性学习中，会运用演绎推理、排列组合、奇偶性分析等知识，对组合数[Cmn]的奇偶性问题进行探究，具体探究过程如下.

在预备定理的前提下（预备定理的证明过程略），可以运用奇偶性分析得出如下表所示的四个性质.

虽然以上三个例子的知识背景不同，但其共同点都是运用了奇偶性分析. 在运用的过程中，例1和例2都运用奇偶性进行分类讨论，最后得出结论;例3则是由预备定理探索性质，实质上是一个变更问题的过程，逐步变换问题的表达形式，使问题从初始状态化归为所要得到的目标状态，化归过程的根本思想体现思维的同一性. 而“～”的传递性体现思维的相似性，所以解决此类问题的过程实质是思维相似性的探求和同一性的运演.

四、结束语

从数学思维的角度来看，学生是思维的主体，教材或数学知识是思维的载体，教师在学生思维的形成过程中起主导作用. 奇偶原理的思维方式要求教师先研究消化思维载体（教材），梳理奇偶原理的理论内涵，尝试总结教学实践，从而更准确地引导学生进入教学思维场，形成学习共同体，这样才能促成学生会用数学思维系统地思考问题.

参考文献：

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[2]克里斯蒂安·黑塞. 像数学家一样思考[M]. 何秉桦，黄建纶，译. 海口：海南出版社，2018.

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